Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Интегрирование функций нескольких переменных.

Двойной интеграл и его свойства.

Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы P = pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.

Алгоритм метода интегральной суммы.

Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) =  pi

4. Переход к пределу  lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы 

Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр.  Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.

Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром D  и функцию z = f(x,y)  0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку () и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма

V(n) =   f()si ( 1 )

С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров  Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim   f()si = f(x,y) dx dy ( 2 )

n

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов  существуют многочлены  и , такие, что  причем степень  меньше степени  или . Многочлены  и  определены однозначно.

Многочлены  и  называются соответственно частным и остатком. Если   делит  то остаток .

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу

Число  является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда  делится на

Пусть  ‑ корень многочлена , т.е.  Разделим  на  , где степень  меньше степени , которая равна  Значит, степень  равна , т.е. . Значит, , . Так как , то из последнего равенства следует, что  т.е. .

Обратно, пусть  делит , т.е. . Тогда .

Следствие. Остаток от деления многочлена   на  равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена  равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен  можно разделить на линейный многочлен  с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть  и пусть , где . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

, откуда

(11.1)

Число называется корнем кратности  многочлена , если  делит , но  уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число   корнем многочлена  и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала  делится на  затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на  и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.


Практикум по теме «Тройной интеграл»