Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Основные свойства двойного интеграла.

Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

  т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy  +g(x,y) dx dy

 т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования.  Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

5. Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке,  т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами ()  всегда существует в области D.

Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy ( 3 )

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx ( 4 )

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c   y  d , x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy ( 5 )

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = , y = x2 

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : =х2  (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0  x  1 ; x2  y  , тогда

J = dxxy dy , Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01 = 1/12

Преобразования плоских областей.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени  имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

(11.2)

где  ‑ корни , т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

,

где  уже различные корни ,  ‑ кратность корня .

Если многочлен , , с действительными коэффициентами имеет корень , то число  также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть  и  корни  Тогда  делится на  и  но так как у  и  нет общих делителей, то  делится на прозведение .

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени  всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь   где  и  ‑ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен . Рациональная дробь  называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где и – некоторые многочлены, а – правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если – правильная рациональная дробь, а число  является вещественным корнем кратности  многочлена , т.е.  и , то существует вещественное число  и многочлен  с вещественными коэффициентами, такие, что  где дробь  также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если – правильная рациональная дробь, а число (и – вещественные, ) является корнем кратности  многочлена , т.е.  и , и если , то существуют вещественные числа и и многочлен  с вещественными коэффициентами, такие, что  где дробь  также является правильной.

Рациональные дроби вида , , , ,  ‑ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

Для данной дроби  пишется разложение, в котором коэффициенты  считаются неизвестными ;

После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена  равна , то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени , т.е. многочлен с  коэффициентами.

Число неизвестных   также равняется : .

Таким образом, получается система  уравнений с   неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

Контрольные вопросы к лекции №11

Понятие многочлена.

Условие равенства многочленов.

Сложение и умножение многочленов.

Теорема о делении с остатком.

Понятие корня многочлена.

Понятие кратности корня многочлена

Теорема Безу.

Схема Горнера.

Соотношение степени многочлена и числа его корней.

Понятие правильной рациональной дроби.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

Метод неопределенных коэффициентов.


Практикум по теме «Тройной интеграл»