Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 4

ТЕМА: Система линейных уравнений (СЛУ)

Определение 4.1

Системой линейных уравнений (СЛУ) называют систему уравнений первого порядка:

 (4.1),

где .

Матрица коэффициентов при неизвестных

называется основной матрицей системы.

Матрица

называется расширенной матрицей системы.

Определение 4.2

1). Множество всех значений , подстановка которых в систему уравнений (4.1) каждое уравнение обращает в тождество, называется решением данной системы.

2). Если все свободные члены системы равны нулю, то есть , то система называется однородной.

Определение 4.3

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, если решение только одно, то система называется определенной, если решений множество, то система называется неопределенной. Если решений нет, то система несовместная.

Определение 4.4

Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот.

Над системами можно производить следующие линейные преобразования:

менять уравнения местами

умножать обе части уравнения на любое не равное нулю число

прибавлять к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженное на любое действительное число.

Система n линейных уравнений с n неизвестными

 (4.2)

1). Матричный способ решения системы (4.2)

Назовем  (4.3)

матричным уравнением системы (4.2)

или  (4.4),

где

Каждую часть равенства (4.4) умножим слева на обратную матрицу :

 (4.5)- решение системы (4.2).

Запишем (5) в развернутом виде:

Таким образом, из , из определения равенства матриц (2.1) следует:

 (4.6)

Пример 4.1

Решить систему матричным способом:

 

Далее вычисляются алгебраические дополнения и составляется матрица .

.

, тогда

.

2). Решение системы (4.2) по формулам Крамера

Определение 4.5

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы (4.2):

.

 - побочные определители системы (4.2), которые составляются следующим образом: при составлении  в определителе  -й столбец заменяется на свободные члены, например:

.

Возвращаясь к формулам (4.6), нетрудно заметить, что суммы, стоящие в числителях есть ни что иное, как побочные определители, разложенные по столбцу свободных членов и тогда формулы (4.6) примут вид:

 (4.7) - формулы Крамера.

Пример 4.1.1

Решим систему линейных уравнений из примера 4.1 с помощью формул Крамера:

,

Теорема Кронекера-Капелли 4.1

Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда   (4.8).

Следствия

1). Система линейных уравнений (4.1) имеет единственное решение, если , где -число неизвестных в системе.

2). Если , то система линейных уравнений (4.1) имеет бесконечное множество решений (т.е. система неопределенная).

Пример4.2

Как видно, , поскольку ранги не равны, то по теореме 6 данная СЛУ решений не имеет (несовместна).

Основы математической логики

Основные понятия:

доказательное рассуждение; правдоподобное рассуждение; математическая индукция; обобщение; специализация; аналогия; логическая связка; отрицание; дизъюнкция; конъюнкция; импликация; эквиваленция.

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, – на невозможности иного изложения.

(Хуго Штейнгаус)

Знания за пределами математики и доказательной логики состоят из предположений. Предположения, составляющие математические знания, закрепляются доказательными рассуждениями и подкрепляются правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, косвенные улики юриста, индуктивные доводы физика, статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо, окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно, условно.

Доказательное рассуждение имеет жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой, являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы сравниться с доказательной логикой или обладала бы сравнимой с ней согласованностью.

Доказательные рассуждения. Все новые знания о мире связаны с правдоподобными рассуждениями.

Доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение не противоречат друг другу; они, напротив, друг друга дополняют.
В строгом рассуждении главное – отличать доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки.
В правдоподобном рассуждении главное – отличать одну догадку от другой, более разумную догадку от менее разумной.

Часто математические утверждения касаются бесконечного множества объектов, и перебрать эти объекты невозможно. Такой перебор можно заменить следующим методом рассуждения: если данное утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следующем за ним случае, а значит и во всех случаях. Такой метод рассуждения называется методом математической индукции.

Обобщение есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Обобщение часто делается при переходе от одного предмета к целому классу, содержащему этот предмет.

Специализация есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном. Специализация часто производится при переходе от целого класса предметов к одному предмету, содержащемуся в этом классе.

Аналогия. Две системы аналогичны, если они согласуются в ясно определенных отношениях соответствующих частей. Это отношение имеет ясный смысл, если отношения управляются одними и теми же законами.

Далее приводятся некоторые основные факты математической логики, которую еще называют формальной логикой. Формальной потому, что она позволяет проверить правильность рассуждений независимо от их содержания. Цепочки рассуждений в совершенно разных областях математики и других наук можно одинаково описать на языке логики и убедиться в их справедливости или ошибочности.


Пример. Изменить порядок интегрирования