Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной  системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y) ( 6 )

Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в xOy область D , ограниченную замкнутым контуром D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром  D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

 y = y(u,v) ( 7 )

и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения  ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

Двойной интеграл.

 В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади  |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | =  ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r , j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

   ( 10 )

Обратное преобразование : r =

j = arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J =  = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса R  f(x,y) dxdy =  ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy = 

 

D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j ) , 

f(x,y) dx dy =  ( 13 )

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1(j ) , r = r2(j ) ,

f(x,y) dx dy =  ( 14 )

Пр. 1  Вычислить площадь круга. S = dxdy =  = j  r2/2  = pR2

Квадратичные формы

Основные понятия:

квадратичная форма; матрица квадратичной формы; канонический вид квадратичной формы; нормальный вид квадратичной формы; канонический базис квадратичной формы; канонический базис Якоби; угловые миноры матрицы квадратичной формы; положительно определенная квадратичная форма; отрицательно определенная квадратичная форма; критерий Сильвестра.

Понятие квадратичной формы

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому , а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Квадратичной формой   от  неизвестных  называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух разных неизвестных.

Пример. Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при  обозначаются через , а коэффициенты при  через , причем  Член  записывается в виде . После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица:

называется матрицей квадратичной формы . Так как , то  – симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

,

где  – матрица квадратичной формы,  – матрица–столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если  – симметрическая матрица, то выражение  является квадратичной формой от неизвестных , т.е. квадратичная форма является результатом скалярного произведения матриц  и . Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если  – произвольный – мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму  вместо  получится число , которое называется значением квадратичной формы  на векторе .


Практикум по теме «Тройной интеграл»