Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . 

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

 х = 1 Þ  r cos j = 1 Þ  r = 1 / cos j .

Углы сектора определяем из чертежа : 0 £ j £ p/4

S =dxdy = = ½  = ½ tgj |0j/4 = ½

Пр. 3 Вычислить площадь леминискаты (x2 + y2)2 = 2a2 (x2 – y2) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x ® - x , y ® - y , пересекает ось Ох при

 х = ±а и проходит через начало координат. S = 4dxdy . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r2cos2j + r2sin2j)2 = 2a2(r2cos2j - r2sin2jÞ

Þ r2 = 2a2 cos 2j  Þ r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а Þ j1 = 0 ; r = a  = 0 Þ j2 = p/4

S = 4= 4a2 = 2a2

Пр. 4 Вычислить площадь D , если D : (x2 + y2)2 = 2a x3

Линия симметрична относительно оси  Ох, т.к. уравнение не

меняется при замене y ® - y, пересекает ось Ох при x = 0,

 х = 2а и х ³ 0. S = 2dxdy. Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos3 j .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos3j = 0 Þ j = ± p/2

S = 2= 4а2   = 5/8 p а2

Поверхности второго порядка.

Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 . Уравнение гладкой поверхности - z = f(x,y) , где каждой точке области определения функции (x, y) отвечает одна точка поверхности с координатой z . Замкнутые поверхности не являются гладкими.

Цилиндрическая поверхность. Её образуют прямые параллельные данному направлению (образующие), которые пересекают некоторую линию L (направляющую).

 Если образующей служит ось координат, то в уравнении F(x,y,z) = 0 такая координата отсутствует и уравнения F(x,y) = 0, F(x,z) = 0, F(y,z) = 0 в координатных плоскостях определяют направляющие линии. Если линиями L служат кривые 2 порядка, то имеем цилиндрические поверхности 2 порядка – круговой цилиндр, эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры.

F(x,y) = 0 F(x,z) = 0 F(y,z) = 0

Коническая поверхность. Её образуют прямые (образующие), которые проходят через данную точку Р (вершину) и пересекают данную линию L (направляющую).

Конус 2 порядка определяет уравнение 

Исследуем форму поверхности методом параллельных сечений:

Пусть х = 0, тогда ур -ние  приводит к прямым 

Пусть z = h, тогда получаем уравнение эллипса

При а = b получаем круговой конус.

Эллипсоид определяет уравнение 

Сечение 3 плоскостями x = h (|h|<a), y = h (|h|<b), z = h (|h|<c)

приводит к 3 эллипсам с разными полуосями. При a = b = c = R

получаем уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2 с центром в начале координат.

Гиперболоид однополюсной определяет уравнение 

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу 

Сечение плоскостью z = h дает  эллипсы 

Гиперболоид двухполюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу 

Сечение плоскостью z = h дает  эллипсы 

Параболоид эллиптический определяет уравнение ,

 где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью х = 0 дает параболу y2 = 2pz

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы  ,

где 2ph > 0 , 2qh > 0 .

Параболоид гиперболический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью у = 0 дает параболу х2 = 2pz

Сечение плоскостью x = h дает параболы   

Сечение плоскостью z = h дает гиперболы

Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако, при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формулируются системы неравенств, поэтому возникает необходимость перехода от системы неравенств к системе уравнений. Это может быть сделано следующим образом. К левой части линейного неравенства:

прибавляется величина , такая, что переводит неравенство в равенство , где:

.

Неотрицательная переменная   называется дополнительной переменной.

Основания для возможности такого преобразования дает следующая теорема.

Теорема. Каждому решению   неравенства

соответствует единственное решение  уравнения:

и неравенства , и, наоборот, каждому решению  уравнения:

и неравенства  соответствует единственное решение  неравенства:

.

Доказательство. Пусть   – решение неравенства . Тогда:

 или

Если в уравнение   вместо переменных подставить значения =, получится:

Таким образом, решение   удовлетворяет уравнению:

 и неравенству .

Доказана первая часть теоремы.

Пусть  удовлетворяет уравнению  и неравенству , т.е.  и . Отбрасывая в левой части равенства неотрицательную величину , получим:

,

т.е.  удовлетворяет неравенству:

,

что и требовалось доказать.

Если в левую часть неравенств системы ограничений вида ,  добавить переменную , , то получится система ограничений – уравнений , . В случае, если система неравенств–ограничений имеет вид , , то из левой части неравенств–ограничений нужно вычесть соответствующую неотрицательную дополнительную переменную , .

Полученная таким образом система уравнений–ограничений, вместе с условиями неотрицательности переменных, т.е. ,  и целевой функцией является канонической формой записи задачи линейного программирования.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значения.

В реальных практических задачах дополнительные неизвестные имеют определенный смысл. Например, если левая часть ограничений задачи отражает расход ресурсов на производство продукции в объемах , , а правые части - наличие производственных ресурсов, то числовые значения дополнительных неизвестных ,  означают объем неиспользованных ресурсов -го вида.

Иногда возникает также необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций при оптимальных решениях отличаются только знаком.

Практикум по теме «Тройной интеграл»