Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем  V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, . . . , DVn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна  r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥  и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных  f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J =   = ( 16 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10.  Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

  [f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +  f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V  при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами () всегда существует в области V.

Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz = 

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )

r = |ON| r = |OM|

j = (ON^Ox) j = (ON^Ox)

q = (OM^Oz)

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 19 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 20 )

Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0 £ x £ ½ , x £ y £ 2x , 0 £ z £ .

J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2),

J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x =

=  ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192 

 Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz , где V - шар x2 + y2 + z2 £ R2 .

J = { x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q } = r4sin3q cos2q drdjdq =

=   sin3q dq cos2j dj r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2j dj = ½ (1 + cos2j) dj  = p ;

J3 =   sin3q dq  = - (1 – cos2q) d(cosq) = 4/3 ; J =

Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и

плоскостями  y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x Þ  (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos j, y = r sin j, z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x Þ r = 2 cos j .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos j = 0 , y = 0 Þ 

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3j ;

J3 = cos3j dj = (1 – sin2j) d(sinj)  = [ sinj - 1/3 sin3j ] 0p/2 = 2/3

Множества допустимых решений

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Выпуклой линейной комбинацией произвольных точек  Евклидова пространства  называется сумма , где  - произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Геометрически это означает, что если множеству с любыми двумя его произвольными точками полностью принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки, то оно будет выпуклым. Например, выпуклыми множествами являются прямолинейный отрезок, прямая, круг, шар, куб, полуплоскость, полупространство и др.

Точка множества называется граничной, если любая окрестность этой точки сколь угодно малого размера содержит точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Граничные точки множества образуют его границу. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Ограниченным называется множество, если существует шар с радиусом конечной длины и центром в любой точке множества, содержащий полностью в себе данное множество. В противном случае множество будет неограниченным.

Пересечение двух или более выпуклых множеств будет выпуклым множеством, так как оно отвечает определению выпуклого множества.

Точка выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек этого множества.

Так, угловые точки треугольника – его вершины, круга – точки окружности, ее ограничивающие, а прямая, полуплоскость, плоскость, полупространство, пространство не имеют угловых точек.

Выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, а замкнутое выпуклое ограниченное множество в трехмерном пространстве, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником.

Теорема. Любая точка многоугольника является выпуклой линейной комбинацией его угловых точек.

Теорема. Область допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Уравнение целевой функции при фиксированных значениях самой функции является уравнением прямой линии (плоскости, гиперплоскости и т.д.). Прямая, уравнение которой получено из целевой функции при равенстве ее постоянной величине, называется линией уровня.

Линия уровня, имеющая общие точки с областью допустимых решений и расположенная так, что область допустимых решений находится целиком в одной из полуплоскостей, называется опорной прямой.

Теорема. Значения целевой функции в точках линии уровня увеличиваются, если линию уровня перемещать параллельно начальному положению в направлении нормали и убывают при перемещении в противоположном направлении.

Теорема. Целевая функция задачи линейного программирования достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений; причем, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, она также достигает экстремума в любой выпуклой комбинации этих точек.


Практикум по теме «Тройной интеграл»