Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Практикум по теме «Двойной интеграл»

 

Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)0, которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,

восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.

V = lim   f()si = f(x,y) dx dy при n (1)

Опр. Двойным интегралом от функции  f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c   y  d, x1(y)xx2(y) )

 Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)

f(x,y) dx dy  = {f(x,y) dx } dy

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пример 1. Изменить порядок интегрирования  J = .

Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.

Решение.

1.  D: 0  x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.

2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.

 Они определяют линии, ограничивающие область D. 

 Находим их точки пересечения из решения систем уравнений

 (4;8) ,(4;8) , (0;0)

 Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые

 y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.

4.  Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y  8 . В уравнениях перегородок

 перейдем к обратным функциям : y = 2x  x = y/2, y = x2/2 x =

5. D: 0 y  8 , y/2 x

 Ответ. J = 

Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид:

Положительным координатам допустимых решений ставятся в соответствие векторы условий. Эти системы векторов зависимы, так как число входящих в них векторов больше размерности векторов.

Базисным решением системы называется частное решение, в котором неосновные переменные имеют нулевые значения. Любая система уравнений имеет конечное число базисных решений, равное , где  – число неизвестных,  – ранг системы векторов условий. Базисные решения, координаты которых удовлетворяют условию неотрицательности, являются опорными.

Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое решение , для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам , линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может превосходить ранга системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений).

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно , то такое решение называется невырожденным, в противном случае, если число отличных от нуля координат опорного решения меньше , такое решение называется вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав которой входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Теорема. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений.

Теорема. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением.


Практикум по теме «Тройной интеграл»