Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Пример. Изменить порядок интегрирования J = 

Решение.

D: 1   x 2 , x y 2x 

D:  x = 1, x = 2, y = x, y = 2x

Точки пересечения: (1;1), (1;2), (2;2), (2;4)

Движение вдоль коридора || Oy (1x 2) идет от прямой

y = x до прямой у = 2х . Движение вдоль коридора || Ox

начинается либо на прямой х = 1, либо на прямой y = 2x

и завершается соответственно на прямых y = x, x = 2. 

Поэтому D приходится разделять на два коридора || Oх : 

 D = D1 + D2

D1 : 1 y 2  , 1  x y

D2 : 2 y 4 , y/2  x 2

 Ответ. J =  + 

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Изменить порядок интегрирования 

1)   , 2)  , 3)  ,

 4) ,  5)  , 6)  ,

7)   , 8)  , 9)  ,

10) ,  11) , 12) ,

13)   , 14) , 15)

Пример 3. Вычислить интеграл  J =  , где D: y = x , y = 2x , x = 2 .

Решение.

Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

(2;2), (2;4), (0;0) 

Выберем коридор || Оу , его ширина 0  x 2 ,

а движение по коридору от y = x до y = 2x. 

D: 0  x 2,  x y 2x . 5. J =

Вычислим внутренний интеграл: J1 = x= x siny |x2x = x(sin 2x – sin x)

J = . Проводим интегрирование по частям и получаем

 J = cos 2 – cos 4 +1/4 sin4 – sin 2

Пример 4. Вычислить интеграл J =  , где : y = 2 – x2 , y = -1 .

Решение.

Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

 x2 = 3 (-;-1) , (;-1)

3. Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = -1 до y = 2 – x2. 

4. D: -x , -1 y 2 – x2 , 5. J =

6. Вычислим внутренний интеграл: J1 == (½ x2y2 + xy )

= ½ [x6 -4x4 -2x3 –4x2 +2x +4]. 7. J = ½  =

= ½ [ x7/7 - 4x5/5 – 2x4/4 – 4x3/3 + 2x2/2 + 4x ]  =

 Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Вычислить интегралы :

1)   , где : y = x2 + 1 , x = 1 , x = 0 , y = 0 .

2)  , где  : y = x2 , y = - , x = 1 .

3)   , где : y = x3, y = 3, x = 0.

4)  , где :  y = x , y = 2x , x = 2 .

5)   , где : y = x2 – 2 , y = 2 .

6)  , где :  y = x2 , y = 2 – x2 , x ³ 0 .

7)  , где :  y = p/4, y = p/2, x = 1, x = 2 .

Пример.

Графический метод решения задачи линейной оптимизации рассмотрим на примере задачи производственного планирования при
  = 2.

Предприятие изготавливает изделия двух видов А и В. Для производства изделий оно располагает сырьевыми ресурсами трех видов С, D и Е в объемах 600, 480 и 240 единиц соответственно. Нормы расхода ресурсов на единицу продукции каждого вида известны и представлены в табл. 14.1

Решение:

Таблица 14.1

Ресурсы

Изделия

А

В

C

24

8

D

8

8

E

3

8

Прибыль от реализации изделия А составляет 40 млн. руб., а изделия В - 50 млн.руб. Требуется найти объемы производства изделий А и В, обеспечивающие максимальную прибыль.

Построим математическую модель задачи, для чего обозначим  и  - объемы производства изделий А и В соответственно.

Тогда прибыль предприятия от реализации   изделий А и  изделий В составит:

.

Ограничения по ресурсам будут иметь вид:

Естественно, объемы производства должны быть неотрицательными .

Решение сформулированной задачи найдем, используя геометрическую интерпретацию. Определим сначала многоугольник решений, для чего систему ограничений неравенств запишем в виде уравнений и пронумеруем их:

Каждое из записанных уравнений представляет собой прямую на плоскости, причем 4-я и 5-я прямые являются координатными осями.

Чтобы построить первую прямую, найдем точки ее пересечения с осями координат: при , а при . Далее нас интересует, по какую сторону от прямой будет находиться полуплоскость, соответствующая первому неравенству. Чтобы определить искомую полуплоскость, возьмем точку  и, подставив ее координаты в неравенство, видим, что оно удовлетворяется. Так как точка  лежит левее первой прямой, то и полуплоскость будет находиться левее прямой . На рис. 14.1 расположение полуплоскости относительно первой прямой отмечено стрелками.

Аналогично построены 2-я и 3-я прямые и найдены полуплоскости, соответствующие 2-му и 3-му неравенству. Точки, удовлетворяющие ограничениям , находятся в первом квадранте.

Множество точек, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно, является ОДР системы ограничений. Такой областью на графике (рис. 14.1) является многоугольник .

Любая точка многоугольника решений удовлетворяет системе ограничений задачи и, следовательно, является ее решением. Это говорит о том, что эта задача линейной оптимизации имеет множество допустимых решений, т.е. многовариантна. Нам же необходимо найти решение, обеспечивающее максимальную прибыль.


Практикум по теме «Тройной интеграл»