Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Практикум по теме «Тройной интеграл»

 Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области DVi с постоянной плотностью f ()

m = lim f () DVi º = ( 1 ) 

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности. Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

J = f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz (2)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу  образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

J =f(x,y,z)dx dy dz =dxdyf(x,y,z) dz = 

 = dxdyf(x,y,z) dz ( 3 )

При f(x,y,z) = 1 интеграл определяет объем бруса.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

z = 0, z = x2 + y2, y = x, y + x = 2, y = 0

Решение.

z = 0 (степень 1, нет y, z )  плоскость координатная xOy (низ)

z = x2 + y2 (степени 1, 2)  параболоид вращения (верх)

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

y + x = 2 (степень 1, нет z)  плоскость || Oz (стенка)

 y = 0 (степень 1, нет  x, z )  плоскость координатная xOz (стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = x2 + y2 

 D: y = x , y + x = 2 , y = 0 

 Точки пересечения линий

(1;1),(2;0),(0;0)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,

а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 – y

V = ,  J2 = = [y2x + x3/3] |y2 – y =

= 1/3 [ -7y3 + 12y2 – 12y + 8 ], V = 1/3[-7y3 + 12y2 – 12y + 8] dy =

= 1/3 [-7y4/4 + 12y3/3 – 12y2/2 + 8y] |01 = 17/12 куб. ед.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

 z = 10x, z = 0, x2 + y2 = 4, y =, y = 0

Решение.

z = 0(степени1,нет y,x)плоскость координатная xOy (низ)

z = 10x (степени 1, нет у ) плоскость через Оу (верх)

x2 + y2 = 4 (степени 2, нет z ) круговой цилиндр || Oz (стенка)

y =  или у2 = 3х (степени 1, 2, нет z)параболический цилиндр || Oz (стенка)

у = 0 (степени 1, нет х,z)плоскость координатная zOх(стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = 10x ,

D:  x2 + y2 = 4 , у2 = 3х , у = 0 

 Точки пересечения линий

(2;0),(0;0),(1;)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор  || Оx, его ширина 0 y ,

а движение по коридору от у2 = 3х до x2 + y2 = 4,

 D: 0 y , y2/3 x

V =  , J2 =  = 5 [ 4 – y2 – y4 /9 ],

V = 5[ 4 – y2 – y4 /9 ] dy = 5 [ 4y – y3/3 – y5/45 ] =  куб.ед.

Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

1) x + y + z = 8 , y = x , z = 0 , y = 3 ; 2) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3.

3) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3 ; 4) x2 + y2 = 8, x = , x = 0, z = 30y/11, z = 0.

5) x + y = 4, x = , z = 3x/5, z = 0 ; 6) x + y = 6, y = , z = 4y, z = 0.

Метод Гаусса

Метод Гаусса основан на теореме: если к некоторому уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, умноженное на любое действительное число, или умножить любое уравнение системы на отличное от нуля действительное число, то полученная система будет эквивалентна исходной.

Метод Гаусса называют также методом последовательного исключения неизвестных, осуществляя его за несколько итераций. На каждой итерации выбирается разрешающее уравнение и базисное неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы, которое ранее не было выбрано разрешающим и не все коэффициенты которого равны нулю. За базисное неизвестное выбирают неизвестное, коэффициент при котором в разрешающем уравнении, называемый разрешающим коэффициентом, не равен нулю.

Алгоритм метода следующий:

Выбирают разрешающее уравнение и базисное неизвестное.

Делят обе части разрешающего уравнения на разрешающий коэффициент и исключают базисное неизвестное из всех уравнений системы, кроме разрешающего. Отбрасывают, если они появились, уравнения, все коэффициенты и свободный член в котором равны нулю. Если получилось уравнение, в котором коэффициенты нулевые, а свободный член не нуль, то система несовместна, конец. Если таких уравнений нет, то шаг 1. Если все уравнения были использованы в качестве разрешающих, то шаг 3.

Если нет, то шаг 1.

Базисные неизвестные оставляют слева, а небазисные (назовем их свободными, так как они могут принимать любые значения) переносят вправо. Тем самым получено общее решение системы. Конец.

Однородные системы уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что  не превосходит . В случае  система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг   системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие  и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система   уравнений с  неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система  линейных однородных уравнений, матрица которой  с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица   вырожденная, т.е. .


Практикум по теме «Тройной интеграл»