Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Пример. Вычислить тройной интеграл

J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Решение.

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

 у = 0 (степени 1, нет х, z ) плоскость координатная zOх (стенка)

x = 1 (степень 1, нет y, z ) плоскость || yOz (стенка)

z =  или z2 = xy (степень 2) сечения x = const, y = const – параболы (верх)

  z = 0 (степени 1, нет y, x ) плоскость координатная xOy (низ)

J =(27 + 54y3) dx dy dz = (27 + 54y3) dxdydz , J1 = dz =  

D:  y = x, y = 0, x = 1

Точки пересечения линий 

 (0;0) , (1;0) , (1;1)

  Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 1,

 а движение по коридору от у = 0 до y = x D:  0 x 1, 0 y  x

J = , J2 = = (7x2 + 6x4) ,

J =  (7x2 + 6x4) dx = [ 7x3/3 + 6x5/5 ] |01 = 106/35

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

2) J =  , где : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3) J =  , где : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

4) J =  , где : x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1 .

5) J =  , где : x + y + z = 1 , x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0.

6) J =   , где : x = 0 , y = 0 , y = 2 , z = 2 , z = x2 .

7) J =  , где : y = 4 , z = 4 – x2 .

8) J =  , где : x + y + z = 2 , x + y – z = 0 , x = 0 , y = 0 .

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 4 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Пример 4. Вычислить тройной интеграл

 J = , где : z = x2 + y2 , z = 2 - x2 - y2 .

Решение.

z = x2 + y2 (степени 1,2) параболоид вращения (низ)

z = 2 - x2 - y2 (степени 1,2) параболоид вращения (верх)

 J =(y + x) dx dy dz = (y + x) dxdydz,  J1 =dz =

= 2(1 – x2 – y2), D: линия пересечения двух параболоидов вращения

 x2 + y2 = 1, z = 1; D: круг R=1, J = 2(y + x) (1 – x2 – y2) dxdy=

= {x = r cos j , y = r sin j} = 2  ,

J2 =   = (r3/3 – r5/5) |01 = 2/15, но J = 0, т.к.  = =0

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : z = 0 , z = 4 – x2 – y2 .

2) J = , где : z = 4 , z = x2 + y2

3) J =  , где : z = 0, z = 5, x2 + y2 = 4

4) J = , где : x2 + y2 = 4, z2 + y2 = 4, x ³ 0 , y ³ 0, z ³ 0 .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 5 )

Пример 5. Определить массу шара радиуса R с переменной плотностью   = r .

Решение.

M =  (x,y,z) dv =  = 2 2 R4/4 = R4

Разрешенные системы линейных уравнений

Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержит  с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменная  не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Например, система уравнений:

содержит разрешенные переменные . Переменные  и  разрешенными не являются.

Если каждое уравнение содержит разрешенную переменную, то такую систему называют разрешенной. Очевидно, что приведенная в качестве примера система уравнений является разрешенной.

Выбрав из каждого уравнения разрешенной системы по одной разрешенной переменной, можно сформировать набор попарно различных переменных, который называется набором разрешенных переменных данной системы. В общем случае набор разрешенных переменных определен неоднозначно. Например, у рассмотренной выше системы можно выбрать два набора разрешенных переменных:  и .

Переменные системы, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе фиксирован набор разрешенных переменных , то переменные  являются свободными; если в набор разрешенных переменных системы входят , то свободными переменными являются.

Допустим, что разрешенная система уравнений содержит переменные , и что набор  является набором разрешенных переменных данной системы. Возможны два случая:  и .

В первом случае, когда , все переменные системы образуют набор разрешенных переменных системы . Из определения набора разрешенных переменных вытекает, что данная система содержит  уравнений. Из определения разрешенных переменных следует, что переменная  содержится только в первом уравнении, переменная  – только во втором и т.д., переменная  – только в –м уравнении. Таким образом, разрешенная система имеет вид:

Очевидно, что такая система уравнений имеет только одно решение .

Во втором случае, когда   разрешенная система состоит из   уравнений вида:

Переменные  являются свободными переменными системы. Если выразить разрешенные переменные системы  через ее свободные переменные , то система примет вид:

Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать  произвольные значения , тогда:

можно построить решение   системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;

если у решений  и  системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Доказательство: Если значения свободных переменных  подставить в систему, то получится:

То есть:

является решением системы уравнений, так как после подстановки координат  в эту систему получаются верные равенства. Поскольку у  значения свободных переменных равны, соответственно,  то  – и есть искомое решение системы.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение .

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.

Контрольные вопросы к лекции №13

Критерий Кронекера-Капелли.

Совместные и определенные системы линейных уравнений.

Методы решения систем линейных уравнений и условия их применимости.

Однородные системы линейных уравнений.

Свободные и разрешенные переменные.


Практикум по теме «Тройной интеграл»