Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Практикум по теме «Криволинейный интеграл»

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(xi, yi) si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 1 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

1) Кривая L задана параметрически : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

*s == и при n

*sds =dt

J =f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 2 )

2) Кривая L задана явным уравнением :  y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 3 )

Замена в f(x,y) переменной  у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S =  dx 

 

 Пример 1. Определить длину дуги кривой  y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.

Решение. 

 Точки пересечения линий: (-,0), (,0)

y = x2/2 – 1 , y` = x , = , -  x 

S =   dx = dx =  + ln ()

Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 4 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc =   = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = /3  до x = 2/3 ;

2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz

Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )

Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования. 

Основы линейного программирования

Основные понятия:

математическое программирование; система ограничений; целевая функция; задача линейного программирования; оптимальное решение; каноническая задача линейного программирования; дополнительная переменная; выпуклое множество; выпуклая линейная комбинация; замкнутое множество; угловая точка; линия уровня; опорная прямая; базисное решение; опорное решение; симплекс-метод; двойственная задача; объективно обусловленные оценки.

Линейное программирование

Исследование различных процессов, в том числе и экономических, обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих процессах выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.д.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «математическое программирование» или математические методы исследования операций.

Математическое программирование включает в себя такие разделы математики, как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же относят и стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.

Математическое программирование – это раздел высшей математики, посвященный решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных, при наличии ограничений на переменные.

Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.д.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы:

выбор переменных задачи;

составление системы ограничений;

выбор целевой функции.

Переменными задачи называются величины , которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора .

Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, и экстремум которой требуется найти.

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции:

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений:

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования и в общем виде может быть записана следующим образом:

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции задачи и соответствующие ему переменные   при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений и условиям неотрицательности.

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой , удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений.

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.


Практикум по теме «Тройной интеграл»