Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Современная вычислительная математика ориентирована на использование компьютеров для прикладных расчётов. Любые математические приложения начинаются с построения модели явления (изделия, действия, ситуации или другого объекта), к которому относится изучаемый вопрос. Классическими примерами математических моделей могут служить определённый интеграл, уравнение колебаний маятника, уравнение теплообмена, уравнения упругости, уравнения электромагнитных волн и другие уравнения математической физики.

Основополагающими средствами изучения математических моделей являются аналитические методы: получение точных решений в частных случаях (например, табличные интегралы), разложение в ряды. Определённую роль издавна играли приближённые вычисления. Например, для вычисления определённого интеграла использовались квадратурные формулы.

Появление в середине ХХ века электронных вычислительных машин (компьютеров) радикально расширило возможности приложения математических методов в традиционных областях (механике, физике, технике) и вызвало бурное проникновение математических методов в нетрадиционные области (управление, экономику, химию, биологию, психологию, лингвистику, экологию и т. п.).

С использованием компьютера стал возможен вычислительный эксперимент, т. е. расчёт в целях проверки гипотез, а также в целях наблюдения за поведением модели, когда заранее не известно, что именно заинтересует исследователя. В процессе численного эксперимента происходит по существу уточнение исходной математической постановки задачи. В процессе расчётов на компьютере происходит накопление информации, что даёт возможность в конечном счёте произвести отбор наиболее интересных ситуаций. На этом пути сделано много наблюдений и открытий, стимулирующих развитие теории и имеющих важные практические применения.

С помощью компьютера возможно применение математических методов и в нетрадиционных областях, где не удаётся построить компактные математические модели вроде дифференциальных уравнений, но удаётся построить модели, доступные запоминанию и изучению на компьютере. Модели для компьютеров в этих случаях представляют собой цифровое кодирование схемы изучаемого объекта (например, языка) и отношение между его элементами (словами, фразами). Сама возможность изучения таких моделей на компьютере стимулирует появление этих моделей, а для создания обозримой модели необходимо появление законов, действующих в исходных объектах. С другой стороны, получаемые на компьютере результаты (например, машинный перевод упрощенных текстов с одного языка на другой) вносят критерий практики в оценку теорий (например, лингвистических теорий), положенных в основу математической модели.

Благодаря компьютерам стало возможным рассматривать вероятностные модели, требующие большого числа пробных расчетов, имитационные модели, которые отражают моделируемые свойства объекта без упрощений (например, функциональные свойства телефоннойАсети).

Теория погрешностей

Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются:

 неточность математического описания, в частности, неточность задания начальных данных;

  неточность численного метода решения задачи, возникающая, например, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т. е. использования приближенного решения конечная точность машинной арифметики.

1.1.1. Виды погрешностей

Неустранимая погрешность состоит из двух частей:

 погрешности, обусловленной неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

 погрешности, являющейся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели).

Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой, хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.

Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).

Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

 1.1. Модель математического маятника

Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий описанные ранее виды погрешностей, на основе задачи описания движения маятника (рис. 1.1), в которой требуется предсказать угол отклонения маятника от вертикали 0, начинающего движение в момент времени t = t0.


Движение маятника может быть описано дифференциальным уравнением второго порядка:

  (1.1)

где l - длина маятника, g— ускорение свободного падения, µ— коэффициент трения.

Причины возникновения погрешностей в данной задаче могут быть различными.

Реальная сила трения зависит от скорости движения маятника по нелинейному закону.

Значения величин       известны с некоторыми погрешностями.

Для решения уравнения (1.1), не имеющего аналитического решения,
приходится использовать численный метод, вследствие чего возникает
погрешность метода.

Вычислительная погрешность, возникающая вследствие конечной точности представления чисел в компьютере.

  1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных

Определение 1.1. Если а - точное значение некоторой величины и а * — известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а* называют некоторую величину (а*), про которую известно, что

 |а*- a| ≤ Δ(a*). (1.2)

Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину , про которую известно, что

   (1.3)

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Определение 1.3. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1.1.

  а* =0.03045 а* =0.03045000

Определение 1.4. Значащую цифру называют верной, если модуль погрешности числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 1.2.

а* = 0.03045 Δ(a*)=0.000003

а * = 0.030450000 Δ(а*) = 0.00000007

Определение 1.5. Число записано со всеми верными цифрами, если в его записи представлены только верные значащие цифры.

Иногда употребляется термин число верных цифр после запятой: подсчитывается число верных цифр после запятой от первой цифры до последней верной цифры.

Довольно часто информация о некоторой величине задается пределами измерений

 а1 ≤ а≤ а2

Принято записывать эти пределы с одинаковым числом знаков после запятой, так как обычно достаточно грубого представления о погрешности. В записи чисел а1, а2 обычно берут столько значащих цифр, сколько нужно для того, чтобы разность а2 -а1 содержала одну, две значащие цифры.

Информацию о том, что а* является приближенным значением числа а с абсолютной погрешностью Δ(а*), принято также записывать в виде:

а = а*± Δ(а*). (1.4)

Числа *, Δ(*) принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример 1.3.

 

Информацию о том, что а* является приближенным значением числа а с относительной погрешностью, записывают в виде:

 

Пример 1.4.

1.123·(1-0.003) ≤ а ≤ 1.123·(1+0.003)

 1.3. Вычислительная погрешность

Далее для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа x как ех, относительную погрешность - δx.

Погрешность суммирования чисел  

• абсолютная погрешность

• относительная погрешность

Погрешность вычитания чисел:

 • абсолютная погрешность

 • относительная погрешность

Погрешность умножения чисел

 • абсолютная погрешность

• относительная погрешность

Погрешность деления чисел

 • абсолютная погрешность

 • относительная погрешность

Погрешность функции, зависящей от одной переменной:

• абсолютная погрешность


• относительная погрешность

   


Аналогично получают формулы для оценки абсолютной и относительной погрешностей для функций, зависящих от η переменных.


Практикум по теме «Тройной интеграл»