Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Понятия о погрешности машинных вычислений

Для представления чисел в памяти компьютера применяют два способа.

С фиксированной запятой.

С плавающей запятой.

Пусть в основу запоминающего устройства положены однотипные физические устройства, имеющие r устойчивых состояний, называемых регистрами. Причем каждому устройству ставится в соответствие одинаковое количество k регистров и, кроме того, с помощью регистров может фиксироваться знак. Упорядоченные элементы образуют разрядную сетку машинного слова: в каждом разряде может быть записано одно из базисных чисел 0,1,..., r-1 (одна из r "цифр" r-ой системы счисления) и в специальном разряде отображен знак "+" или "-". При записи чисел с фиксированной запятой кроме упомянутых r параметров (основания системы счисления) и k (количество разрядов, отводимых под запись числа) указывается еще общее количество l разрядов, выделяемых под дробную часть числа. Таким образом, положительное вещественное число a, представляющее собой в r-ой системе бесконечную, непериодическую дробь, отображается конечной последовательностью

 


Диапазон представляемых таким способом чисел определяется числами с наибольшими цифрами во всех разрядах, т. е. наименьшим числом   и наибольшим , а абсолютная точность представления - есть оценка величины, зависящая от способа округления. Абсолютная точность представления вещественных чисел с фиксированной запятой одинакова в любой части диапазона. В то же время относительная точность представления числа может значительно различаться в зависимости от того, берется ли а близким к нулю или к границе диапазона.

Пример 1.5. Рассмотрим запоминающее устройство с фиксированной запятой, состоящее из k=7 элементов и имеющее r=10 (r =0, 1,..., 9). Будем считать, что общее количество разрядов, выделяемых под дробную часть, l = 3, под знак - один разряд, под целую часть - три разряда (рис. 1.2)

   


  

Рис. 1.2.Схема машинного слова запоминающего устройства с фиксированной запятой

 


Тогда наибольшее число, которое можно сохранить в данном запоминающем устройстве, равно 999.999, а наименьшее равно -999.999. У любого числа из указанного диапазона, являющегося бесконечной периодической дробью, вне зависимости от его величины после запятой сохраняется толь­ко 3 цифры. Поэтому абсолютная точность представления чисел а1 = 1.123456 и а2 = 999.123456 оказывается одинаковой.

 

Относительные погрешности представления этих чисел в запоминающем устройстве будут различны:

 


В основе часто употребляемого представления с плавающей запятой лежит экспоненциальная форма записи числа:

 

где r - основание, р - порядок, M- мантисса . Если под мантиссу выделяется l

 r - ичных элементов, а под порядок - m, то в системе записи с плавающей запятой вещественное число а представляется конеч­ным числом

 

где γ — целое число из промежутка

Структура машинного слова запоминающего устройства с плавающей запя­той представлена на рис. 1.3.

Знак порядка

Порядок числа (т разрядов)

Знак мантиссы

Мантисса числа

 ( разрядов)

  Рис. 1.2. Схема машинного слова запоминающего

 устройства с плавающей запятой

Числа  определяют границы допустимого числового диапазона. Относительная точность представления вещественных чисел равна

   


т. е. относительная точность одинакова в любой части числового диапазона и зависит лишь от числа разрядов, отводимых под мантиссу числа.

Например, для записи числа в 48-разрядном машинном слове БЭСМ-6 40 двоичных разрядов выделялись под мантиссу, 6 — под порядок числа и 2 — под знаки мантиссы, т. е. r =2, l = 40, т = 6. Следовательно, точность представления чисел с плавающей запятой не хуже 2-39 (≈1012), граница машинного нуля 2-64 (≈10-19), машинной бесконечности 263.

Пример 1.6. Рассмотрим запоминающее устройство, состоящее из k= 8 элементов и имеющее r = 10 (r = 0, 1,..., 9). Будем считать, что общее количество разрядов, выделяемых под дробную часть l= 5, под знак порядка числа - 1 ячейка, под знак мантиссы числа — 1 ячейка, под порядок — 2 ячейки.

Оценим точность представления чисел а1 = 1.123123 и α2 = 999.123123.

Запишем числа в форме представления с плавающей запятой:

a1 =0.1123123.101,

a2 = 0.999123123103.

В запоминающем устройстве числа a1 ,α2 будут записаны в виде, показанном на рис. 1.4.

   


 Рис 1.4. Представление чисел а1, а2 с плавающей запятой

 в запоминающем устройстве

 

Абсолютные погрешности чисел равны:

Относительные погрешности чисел равны:


Практикум по теме «Тройной интеграл»