Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Решение уравнений с одной переменной

Общие сведения и основные определения

Наиболее общий вид нелинейного уравнения:

 F (x) = 0  (2.1)

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [a, b].

Определение 2.1. Всякое число ξ[а,b] , обращающее функцию F(x) в нуль, называется корнем уравнения (2.1).

Определение 2.2. Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x=ξ вместе с функцией F(x) равны нулю ее производные до (k-1)-го порядка включительно:

   (2.2)

Определение 2.3. Однократный корень называется простым.

Определение 2.4. Уравнения F(x)=0 и G(x)=0 называются равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение 2.5. Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если функция F(x) является алгебраической.

Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

 (2.3)

где — действительные коэффициенты уравнения, х- неизвестное.

Из алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или два комплексно сопряженных корня.

Определение 2.6. Уравнение (2.1) называется трансцендентным, если функция F(x) не является алгебраической.

Определение 2.7. Решить уравнение (2.1) означает:

Установить, имеет ли уравнение корни.

Определить число корней уравнения.

Найти значения корней уравнения с заданной точностью.

2.2. Отделение корней

Определение 2.8. Отделение корней — процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (2.1) имеет только одно решение.

В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции F(x) и определить отрезки, на которых эта функция имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс. В сомнительных случаях графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения:

если непрерывная функция принимает на концах отрезка [а, b] значения разных знаков

(т. е. F(a)∙F(b) < 0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;

если функция F(x) к тому же и строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

 2.3. Метод половинного деления

Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [а, b] единственный корень, причем функция F(x) на данном отрезке непрерывна (рис. 2.1).

Разделим отрезок [а, b] пополам точкой с = (а + b)/2. Если F(с)0, то возможны два случая:

Функция F(x) меняет знак на отрезке [а, с].

Функция F(x) меняет знак нa отрезке [с, b].

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

 Рис 2.1. К объяснению метода половинного деления

2.4. Метод простой итерации

Заменим уравнение (2.1) равносильным уравнением:

x = f (x) (2.4)

Пусть ξ — корень уравнения (2.4), а x0 — полученное каким-либо способом нулевое приближение к корню ξ. Подставляя x0 в правую часть уравнения (2.4), получим некоторое число x1= f (x1). Повторим данную процедуру с x1 и получим x2 = f (x1). Повторяя описанную процедуру, получим последовательность

x0, x1,...,xn,..., (2.5)

называемую итерационной последовательностью.

Геометрическая интерпретация данного алгоритма представлена на рис. (2.5)

Итерационная последовательность, вообще говоря, может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции f(x)

 


 Рис. 2.5. К объяснению метода простой итерации

]Теорема 2.1. Если функция f(x) непрерывна, а последовательность (2.5) сходится, то предел последовательности (2.5) является корнем уравнения (2.4).

Действительно, пусть. Перейдем к пределу в равенстве

 (2.6)

Условие сходимости итерационного процесса определяется следующей теоремой.

Теорема 2.2. Достаточное условие сходимости итерационного процесса. Пусть уравнение x =f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

f(x) определена и дифференцируема на [a,b].

f(x) [a,b] для всех x [a,b].

Существует такое вещественное q, что <1для всех x [a,b].

Тогда итерационная последовательность  сходится при любом начальном приближении xo [a,b].

Доказательство. Построим итерационную последовательность вида (2.5) с любым начальным значением xo [a,b]. B силу условия 2 теоремы 2.2 все члены последовательности находятся в отрезке [a,b].

Рассмотрим два последовательных приближения хп = f(xn-1) и xn+l =f(xn). По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:

 

Переходя к модулям и принимая во внимание условие 3 теоремы 2.2, получим:

 

 

При n = 1, 2, имеем:

 

  (2.7)

 

Рассмотрим ряд

 (2.8)

Составим частичные суммы этого ряда

Заметим, что (n+1)-я частичная сумма ряда (2.8) совпадает с n-ым членом итерационной последовательности (2.5), т. e.

Sn+1=xn.  (2.9)

Сравним ряд (2.8) с рядом

  (2.10)

Заметим, что в силу соотношения (2.7) абсолютные величины членов ряда (2.8) не превосходят соответствующих членов ряда (2.10). Ho ряд (2.10) сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (q<l,no условию). Следовательно, и ряд (2.8) сходится, т. e. его частичная сумма (2.9) имеет предел. Пусть . B силу непрерывности функции f получаем

(см. (2.6)):

 

т.е. ξ — корень уравнения x = f(x).

Отметим, что условия теоремы не являются необходимыми. Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.

Отыщем погрешность корня уравнения, найденного методом простой итерации. Пусть xn -приближение к истинному значению корня уравнения x=f(x). Абсолютная ошибка приближения xn оценивается модулем

 

Принимая во внимание (2.8) и (2.9), имеем

  (2.11)

Сравним (2.11) с остатком ряда (2.9):

  (2.12)

Учитывая оценку (2.7), получаем

 

Таким образом, для оценки погрешности n-го приближения получается формула 

 (2.13)

Ha практике удобнее использовать модификацию формулы (2.13).

Примем за нулевое приближение xn-1 (вместо x0). Следующим приближением будет хп

(вместо x1). Так как  то

   


 (2.14)

При заданной точности ответа ε итерационный пpоцеcc прекращается, если

2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду

Уравнение F(x) = 0 преобразуется к виду, пригодному для итерационного процесса, следующим образом:

 x = x-mF(x),

где m — отличная от нуля константа.

B этом случае

F(x) = x-mF(x). (2.15)

Функция  f(x) должна удовлетворять условиям теоремы 2.2. Дифференцируя (2.15), получим

f'(x) = 1-mF(x). (2.16)

Для выполнения условия 3 теоремы 2.2 достаточно подобрать m, так чтобы для всех x[a,b]

  (2.17)


Практикум по теме «Тройной интеграл»