Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Общие сведения и основные определения

Рассмотрим систему, состоящую из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

,

  

,


 (3.1)

которая может быть записана в матричном виде

 A∙x = b, (3.2)

где A — прямоугольная матрица размерности m×n:

 (3.3)

x — вектор n-го порядка:

 

b - вектор m-порядка:

Определение 3.1. Решением системы (3.1) называется такая упорядоченная совокупность чисел x1=c1, х2=с2, ... , хn=сn, которая обращает все уравнения системы (3.1) в верные равенства.

Определение 3.2. Прямыми методами решения систем линейных уравнений называются методы, дающие решение системы за конечное число арифметических операций. Если отсутствуют ошибки округления, то получаемые решения всегда являются точными.

Определение 3.3. Итерационными методами решения систем линейных уравнений называются методы, дающие решение системы уравнений как предел последовательности приближений, вычисляемых по единообразной схеме.

3.2. Метод Гаусса

,

  

,

  Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

 (3.4)

при условии, что матрица A = (aij) невырождена.

Метод Гаусса состоит в преобразовании системы (3.4) последовательным исключением переменных к равносильной системе с треугольной матрицей

 

 … … …

 

   


 (3.5)

Затем из системы (3.5) последовательно находят значения всех неизвестных.

Таким образом, процесс решения системы (3.4) распадается на два этапа:

Прямой ход — приведение системы (3.4) к треугольному виду.

Обратный ход — нахождение значений неизвестных переменных, в соответствие с (3.5).

3.3. Вычисление определителей

Решение системы (3.4) существует только в том случаем, если определитель матрицы A отличен от нуля, поэтому решение любой системы линейных уравнений следует предварять вычислением ее определителя.

Для вычисления определителя используют известное свойство треугольных матриц: определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Пусть задана квадратная матрица X n-го порядка:

 . (3.6)

Представим матрицу X в виде:

 X=Y·Z, (3.7)

где

  (3.8)

Известно, что определитель матрицы равен произведению определителей:

 |X|=|Y|∙|Z| (3.9)

но |Z|= 1, поэтому

 |X|=y11∙y22∙…∙ynn. (3.10)

Формулы для вычисления элементов матриц Y и Z получаются перемножением этих матриц и приравниванием элементов матрицы Y к соответствующим элементам матрицы X:

   при  (3.11)

    (3.12)

   


Практикум по теме «Тройной интеграл»