Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Методы решения систем нелинейных уравнений

Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций

Пусть требуется решить систему уравнений

  (4.1)

где f1, f2,…,fn - заданные, вообще говоря, нелинейные вещественнозначные функции n вещественных переменных x1, x2,…,xn.

Введем обозначения:

Тогда систему (4.1) можно заменить одним уравнением

  (4.2)

относительно векторной функции F векторного аргумента .

Следовательно, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения  B этой постановке данная задача является прямым обобщением задачи о нахождении решения нелинейного уравнения для случая пространств большей размерности. Это означает, что можно строить методы ее решения как на основе обсужденных в предыдущей лекции подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. Однако не все результаты и не все методы оказывается возможным перенести формально (например, метод половинного деления). B любом случае следует позаботиться о правомерности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессах. Отметим, что переход от n = 1 к n ≥ 2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой привел к появлению новых методов и различных модификаций уже имеющихся методов. B частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор функции F(x).

Начнем изучение методов решения нелинейных систем с метода простых итераций.

Пусть система (4.1) преобразована к следующей эквивалентной нелинейной системе:

 

или в компактной записи:

  

Для задачи о неподвижной точке нелинейного отображения Ф: Rn→Rn запишем формальное рекуррентное равенство:

   

где k определяет метод простых итераций

для задачи (4.3) и k = 0,1,2,...,n.

Если начать процесс построения последовательности (x-(k)) c некоторого вектора  и продолжить вычислительный процесс по формуле (4.5), то при определенных условиях данная последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору   - неподвижной точке отображения Φ(x).

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 4.1, Пусть функция Ф(х) и замкнутое множество  таковы, что:

1.

2. <1:  

Тогда Ф(x) имеет в M единственную неподвижную точку  последовательность (x-(k)), определяемая (4.5), сходится при любом  к ; справедливы оценки:

Отметим низкую практическую ценность данной теоремы из-за не конструктивности ее условий. B случаях, когда выбрано хорошее начальное приближение  решению , больший практический интерес представляет следующая теорема.

Теорема 4.2. Пусть Ф(х) дифференцируема в замкнутом шаре , причем . Тогда если центр  и paдиус r шара S таковы, что ,то справедливо заключение теоремы 4.1 с M = S .

Запишем метод последовательных приближений (4.5) в развернутом виде:

 (4.6)

Сравнение (4.6) с вычислительной формулой метода простой итерации решения систем линейных уравнений (4.13) обнаруживает их сходство. Учитывая, что в линейном случае, как правило, более эффективен метод Зейделя, в данном случае также может оказаться более эффективным его многомерный аналог, называемый методом покоординатных итераций:

 (4.7)

Заметим, что, как и для линейных систем, отдельные уравнения в (4.7) неравноправны, т. e. перемена местами уравнений системы (4.3) может изменить в некоторых пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимоcтью последовательности итераций. Для того чтобы применить метод простых итераций (4.6) или его "зейделеву" модификацию (4.7) к исходной системе (4.1), необходимо сначала тем или иным способом привести эту систему к виду (4.3). Это можно сделать, например, умножив (4.2) на неособенную n × n матрицу A и прибавив к обеим частям уравнения -A∙F вектор неизвестных. Полученная система

 (4.8)

эквивалентна исходной и имеет вид, аналогичный уравнению в методе итераций в одномерном случае. Проблема состоит лишь в правильном подборе матричного параметра.

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Для решения системы (4.3) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, известно k-e приближение  одного из

изолированных корней  векторного уравнения (4.2). Тогда точный корень уравнения (4.2) можно представить в виде:

 (4.9)

где  –поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (4.9) в (4.2), имеем

  (4.10)

Предполагая, что функций  непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей  и , разложим левую часть уравнения (4.10) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами:

 (4.11)

 или в развернутом виде,

   (4.12)

Из формул (4.11) и (4.12) видно, что под производной  следует понимать матрицу Якоби системы функций f1,f2,...,fn относительно переменных  т.е.

 

или в краткой записи

 

поэтому формула (4.12) может быть записана в следующем виде:

  (4.13)

Если det  то

 (4.14)

Отсюда видно, что метод Ньютона для решения системы (4.1) состоит в построении итерационной последовательности:

  (4.15)

гдe k=0, 1, 2,

Если все поправки становятся достаточно малыми, счет прекращается. Иначе новые значения xi используются как приближенные значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удастся.


Практикум по теме «Тройной интеграл»