Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

 Интерполирование функций

Постановка задачи

Пусть известные значения некоторой функции f(x) образуют следующую таблицу:

Таблица 5.1. Исходные данные в задаче интерполяции

x

 x0 x1 … x n 

f(x)

 y0 y1 … yn

Требуется получить значение функции f(x) для значения аргумента xÎ[x0,xn], несовпадающего ни с одним из значений xi (i = 0, 1, ..., n).

Решение задачи сводится к поиску некоторой приближающей функции F(x), близкой в определенном смысле к функции f(х), для которой известно аналитическое выражение.

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основан на требовании строгого совпадения значений функций f(x) и F(x) в точках xi(i = 0,l,...,n)

,  (5.1)

B данном случае нахождение приближенной функции называется интерполированием ,а точки  называются узлами интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде многочлена степени n:

  (5.2)

Условия (5.1), наложенные на многочлен, позволяют однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Рn(х) выполнения условий (5.1), получаем линейную систему, состоящую из (n +1) уравнения:

   (5.3)

Решив систему (5.3) относительно неизвестных a0,a1,...,an, находим значе­ния этих неизвестных и, подставив в (5.2), находим аналитическое выраже­ние аппроксимирующей функции.

Система (5.4) всегда имеет единственное решение, т. к. ее определитель

 , (5.4)

известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля.

Следовательно, интерполяционный многочлен Pn(x) существует и единственен.

 5.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Для функции, заданной табл. 5.1, построим интерполяционный многочлен , степень которого не выше n и выполнены условия (5.1).

Будем искать  в виде

  (5.5)

где  — многочлен степени n, причем

 (5.6)

Очевидно, что требование (5.6) с учетом (5.5) обеспечивают выполнение условий (5.1).

Многочлены  составим следующим образом:

, (5.7)

где сi- постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (5.6)

  (5.8)

Подставив , в (5.7) и далее в (5.5), окончательно получим:

  (5.9)

Формула (5.9) решает поставленную задачу.

5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов

Интерполяционные формулы Ньютона строятся для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента h:

  (5.10)

5.3.1. Конечные разности

Для функции, заданной табл. 5.1 с постоянным шагом (5.10), определим разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:

  (5.11)

Такое выражение называют конечными разностями первого порядка.

Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

  (5.12)

Аналогично получают выражение для конечных разностей третьего порядка:

 (5.13)

Методом математической индукции можно доказать, что

  (5.14)

5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный полином в виде:

  (5.15)

Значения коэффициентов  найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая  из (5.15) найдем  , откуда . Далее, последовательно придавая x значения х1 и х2,получаем:

 

откуда ,

 

т.е. 

или

откуда 

Затем, проведя аналогичные действия, можно получить

 

B общем случае выражение для ak будет иметь вид

  (5.16)

Подставляя (5.16) в выражение для многочлена (5.15), получаем

 (5.17)

Формула (5.17) называется первым интерполяционным полиномом Ньютона.

Отдавая дань традициям преподавания численных методов в прошлом веке, приведем описание модификации формулы (5.17), применявшейся при ручных вычислениях. Положим  т.е.  тогда:

 

Подставляя данные выражения в {5.17), окончательно получаем

 (5.18)

Формула (5.18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интегрирования в начале отрезка, когда t мало по абсолютной величине.

5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если искать интерполяционный полином в виде:

 (5.19)

Коэффициенты полинома (5.19), находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах:

  (5.20)

Подставив (5.20) в (5.19) и перейдя к переменной , получим

окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:

 (5.21)

5.4. Погрешность интерполяции

Погрешность интерполяции полиномом Лагранжа оценивается по формуле:

  (5.22)

где  (5.23)

  (5.24)

Погрешность интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формулам:

  (5.25)

  (5.26)


Практикум по теме «Тройной интеграл»