Интерполирование функций

Постановка задачи

Пусть известные значения некоторой функции f(x) образуют следующую таблицу:

Таблица 5.1. Исходные данные в задаче интерполяции

x	x0 x1 … x n
f(x)	y0 y1 … yn

Требуется получить значение функции f(x) для значения аргумента xÎ[x0,xn], несовпадающего ни с одним из значений xi (i = 0, 1, ..., n).

Решение задачи сводится к поиску некоторой приближающей функции F(x), близкой в определенном смысле к функции f(х), для которой известно аналитическое выражение.

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основан на требовании строгого совпадения значений функций f(x) и F(x) в точках xi(i = 0,l,...,n)

,  (5.1)

B данном случае нахождение приближенной функции называется интерполированием ,а точки  называются узлами интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде многочлена степени n:

  (5.2)

Условия (5.1), наложенные на многочлен, позволяют однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Рn(х) выполнения условий (5.1), получаем линейную систему, состоящую из (n +1) уравнения:

   (5.3)

Решив систему (5.3) относительно неизвестных a0,a1,...,an, находим значе­ния этих неизвестных и, подставив в (5.2), находим аналитическое выраже­ние аппроксимирующей функции.

Система (5.4) всегда имеет единственное решение, т. к. ее определитель

 , (5.4)

известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля.

Следовательно, интерполяционный многочлен Pn(x) существует и единственен.

 5.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Для функции, заданной табл. 5.1, построим интерполяционный многочлен , степень которого не выше n и выполнены условия (5.1).

Будем искать  в виде

  (5.5)

где  — многочлен степени n, причем

 (5.6)

Очевидно, что требование (5.6) с учетом (5.5) обеспечивают выполнение условий (5.1).

Многочлены  составим следующим образом:

, (5.7)

где сi- постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (5.6)

  (5.8)

Подставив , в (5.7) и далее в (5.5), окончательно получим:

  (5.9)

Формула (5.9) решает поставленную задачу.

5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов

Интерполяционные формулы Ньютона строятся для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента h:

  (5.10)

5.3.1. Конечные разности

Для функции, заданной табл. 5.1 с постоянным шагом (5.10), определим разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:

  (5.11)

Такое выражение называют конечными разностями первого порядка.

Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

  (5.12)

Аналогично получают выражение для конечных разностей третьего порядка:

 (5.13)

Методом математической индукции можно доказать, что

  (5.14)

5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный полином в виде:

  (5.15)

Значения коэффициентов  найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая  из (5.15) найдем  , откуда . Далее, последовательно придавая x значения х1 и х2,получаем:

 

откуда ,

 

т.е. 

или

откуда 

Затем, проведя аналогичные действия, можно получить

 

B общем случае выражение для ak будет иметь вид

  (5.16)

Подставляя (5.16) в выражение для многочлена (5.15), получаем

 (5.17)

Формула (5.17) называется первым интерполяционным полиномом Ньютона.

Отдавая дань традициям преподавания численных методов в прошлом веке, приведем описание модификации формулы (5.17), применявшейся при ручных вычислениях. Положим  т.е.  тогда:

 

Подставляя данные выражения в {5.17), окончательно получаем

 (5.18)

Формула (5.18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интегрирования в начале отрезка, когда t мало по абсолютной величине.

5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если искать интерполяционный полином в виде:

 (5.19)

Коэффициенты полинома (5.19), находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах:

  (5.20)

Подставив (5.20) в (5.19) и перейдя к переменной , получим

окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:

 (5.21)

5.4. Погрешность интерполяции

Погрешность интерполяции полиномом Лагранжа оценивается по формуле:

  (5.22)

где  (5.23)

  (5.24)

Погрешность интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формулам:

  (5.25)

  (5.26)

Практикум по теме «Тройной интеграл»