Интерполирование функций
Постановка задачи
Пусть известные значения некоторой функции f(x) образуют следующую таблицу:
Таблица 5.1. Исходные данные в задаче интерполяции
x
x0 x1 … x n
f(x)
y0 y1 … yn
Требуется получить значение функции f(x) для значения аргумента xÎ[x0,xn], несовпадающего ни с одним из значений xi (i = 0, 1, ..., n).
Решение задачи сводится к поиску некоторой приближающей функции F(x), близкой в определенном смысле к функции f(х), для которой известно аналитическое выражение.
Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основан на требовании строгого совпадения значений функций f(x) и F(x) в точках xi(i = 0,l,...,n)
,
(5.1)
B данном случае нахождение приближенной функции называется интерполированием ,а точки
называются узлами интерполяции.
Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде многочлена степени n:
(5.2)
Условия (5.1), наложенные на многочлен, позволяют однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Рn(х) выполнения условий (5.1), получаем линейную систему, состоящую из (n +1) уравнения:
![]()
(5.3)
Решив систему (5.3) относительно неизвестных a0,a1,...,an, находим значения этих неизвестных и, подставив в (5.2), находим аналитическое выражение аппроксимирующей функции.
Система (5.4) всегда имеет единственное решение, т. к. ее определитель
, (5.4)
известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля.
Следовательно, интерполяционный многочлен Pn(x) существует и единственен.
5.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Для функции, заданной табл. 5.1, построим интерполяционный многочлен
, степень которого не выше n и выполнены условия (5.1).
Будем искать
в виде
(5.5)
где
— многочлен степени n, причем
(5.6)
Очевидно, что требование (5.6) с учетом (5.5) обеспечивают выполнение условий (5.1).
Многочлены
составим следующим образом:
, (5.7)
где сi- постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (5.6)
(5.8)
Подставив
, в (5.7) и далее в (5.5), окончательно получим:
(5.9)
Формула (5.9) решает поставленную задачу.
5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов
Интерполяционные формулы Ньютона строятся для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента h:
(5.10)
5.3.1. Конечные разности
Для функции, заданной табл. 5.1 с постоянным шагом (5.10), определим разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:
(5.11)
Такое выражение называют конечными разностями первого порядка.
Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:
(5.12)
Аналогично получают выражение для конечных разностей третьего порядка:
(5.13)
Методом математической индукции можно доказать, что
(5.14)
5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
Будем искать интерполяционный полином в виде:
(5.15)
Значения коэффициентов
найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая
из (5.15) найдем
, откуда
. Далее, последовательно придавая x значения х1 и х2,получаем:
откуда
,
т.е.
или
откуда
Затем, проведя аналогичные действия, можно получить
B общем случае выражение для ak будет иметь вид
(5.16)
Подставляя (5.16) в выражение для многочлена (5.15), получаем
(5.17)
Формула (5.17) называется первым интерполяционным полиномом Ньютона.
Отдавая дань традициям преподавания численных методов в прошлом веке, приведем описание модификации формулы (5.17), применявшейся при ручных вычислениях. Положим
т.е.
тогда:
Подставляя данные выражения в {5.17), окончательно получаем
(5.18)
Формула (5.18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интегрирования в начале отрезка, когда t мало по абсолютной величине.
5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если искать интерполяционный полином в виде:
(5.19)
Коэффициенты полинома (5.19), находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах:
(5.20)
Подставив (5.20) в (5.19) и перейдя к переменной
, получим
окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:
(5.21)
5.4. Погрешность интерполяции
Погрешность интерполяции полиномом Лагранжа оценивается по формуле:
(5.22)
где
(5.23)
(5.24)
Погрешность интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формулам:
(5.25)
(5.26)