Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 6

ТЕМА: Понятие векторного (линейного) пространства

Определение 6.1

Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Примеры векторов:

а) векторы-отрезки, выходящие из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;

б) коэффициенты любого линейного уравнения с  неизвестными составляют -мерный вектор;

в) если дана матрица из строк и  столбцов, то ее столбцы будут -мерными, а столбцы -мерными векторами.

Понятие линейного (многомерного векторного) пространства является одним из основных в современной математике.

Пусть, -некоторое множество,  - элементы , , причем,

1)

2)

Потребуем, чтобы эти операции удовлетворяли следующим аксиомам:

аксиомы линейного пространства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение 6.2

Множество  элементов , в котором определены операции сложения и умножения элемента на число, удовлетворяющие аксиомам (1-8), называется линейным (векторным) пространством.

Элементы множества  называют векторами.

Определение 6.3

Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  называется выражение вида: .

Определение 6.4

Вектора  называются линейно зависимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором V, т.е.  (6.1).

Если , то вектора  называются

линейно независимыми.

Из данного определения вытекают следующие утверждения:

1) Если среди векторов  есть нуль-вектор, то они линейно зависимы.

Доказательство

Пусть, например, , тогда, , так как  не все равны нулю, выполняется равенство (6.1).

2) Если часть векторов  линейно зависима, то и все вектора линейно зависимы.

Доказательство

Пусть  .

Среди  есть неравные нулю, то есть выполняется тождество (6.1) и для всех векторов.

3) Теорема 6.1

Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех других.

Доказательство

 линейно зависимы, то есть выполняется равенство (6.1).

Пусть , тогда  - линейная комбинация.

Пусть  - линейная комбинация, тогда , то есть выполняется равенство (6.1), а это значит, что вектора линейно зависимы.

Базис линейного пространства

Определение 6.5

Совокупность векторов  называют базисом в , если:

1. вектора  – линейно независимы;

2. для  найдутся , такие, что . (6.2)

При этом равенство (6.2) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами   относительно базиса .

Пример 6.1

Пусть . Показать, что вектора линейно независимы.

 ,

  ,

то есть данные вектора линейно независимы.

Добавим к этой системе векторов еще один вектор: .

Легко убедиться, что  - линейная комбинация,

т.е.  - линейно зависимые вектора.

Теорема 6.2 (о единственности разложения по базису).

Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. .

Координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство.

Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   .

Теорема 6.3 (операции над векторами, заданными своими координатами).

При сложении любых двух векторов ,  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются.

При умножении  на  все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть  – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису   что теорема доказана.

Определение 6.6

Линейное пространство  называется n–мерным, если

1. В нем существуют n линейно независимых векторов.

2. Любой -й вектор линейно зависим.

Если задана система  векторов

 ,

где , , а координаты заданы в одном и том же базисе,

то  - матрица системы векторов, где в -м столбце стоят координаты вектора .

Теорема 6.4

Для того, чтобы  векторов -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен .

Следствие 1

 линейно независимы тогда и только тогда, когда для данных векторов .

Следствие 2

Если ранг матрицы системы  векторов линейного пространства равен , то максимальное число линейно независимых векторов этой системы также равно .

Пример 6.2

, , .

, таким образом, векторы  - линейно зависимы.

.

Основные операции над множествами

Рис. 2.2.

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком .

Рис. 2.3.

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества  и  называются непересекающимися.

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества  называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества , что каждый элемент множества  является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Рис. 2.4.

Разностью множеств  и  или дополнением  до  называется множество, состоящее только из тех элементов , которые не входят в . Эта операция над множествами обозначается знаком .

Рис. 2.5.

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества . В таком случае разность  (дополнение  до ) обозначают, как , а операцию называют взятием дополнения.

Рис. 2.6.

Симметрической разностью множеств   и  называется множество :

.

Обозначается симметрическая разность:  или .

Для подмножеств данного множества   выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

; ;

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств ,  и :

;

;

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств ,  и :

;

;

; ;

;;

; ;

;

;

; ;

; ;

; ;

; .

Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству  – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой  на ,  на  и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества  и , то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем – элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств   и  называется множество , составленное из упорядоченных пар (). Декартово произведение множеств  и  обозначается .

Очевидно, что  и  ‑ различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.


Пример. Изменить порядок интегрирования