Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Сплайн-интерполяция

При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает опредёленные неудобства при вычислениях. Можно избежать выcокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и построив на каждой части самостоятельный интерполяционный многочлен. Однако такое интерполирование обладает существенным недостатком: в точках сшивки разных интерполяционных полиномов будет разрывной их первая производная, поэтому для решения задачи кусочно-линейной интерполяции используют особый вид кусочно-полиномиальной интерполяции — сплайн-интерполяцию.

Сплайн — это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x) задана своими значениями уi в узлах xi,  Длину частичного отрезка  обозначим hi:

 

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков  в виде:

 (5.27)

где .- четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение. Потребуем совпадения значений S(x) в узлах с табличными значениями функции f(x):

   (5.28)

  (5.29)

Число этих уравнений 2n в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные  во внутреннем узле xi.

Вычислив выражения для производных S'(x), S"(x) последовательным дифференцированием (5.27):

  (5.30)

  (5.31)

найдем правые и левые производные в узле:

 

 

 где i = 1,2,...,n-1.

Аналогично поступаем для второй производной:

 

 

Приравняв левые и правые производные, получаем:

 (5.32)

 , (5.33)

где i = 0,l,...,n-l.

Уравнения (5.32), (5.33) дают еще 2(n-1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на кон цах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. e. равенство нулю второй производной), то получим:

    (5.34)

Исключив из уравнений (5.28)-(5.33) n неизвестных ai ,получаем систему уравнений:

 (5.35)

где i = 0,l,...,n-l.

Система (5.35) состоит из 3п уравнений. Решив систему (5.35), получаем значения неизвестных bi,ci,di ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна

 (5.36)

где i=0,1,…,n-1.

Глава 6. Численное дифференцирование и интегрирование

6.1. Численное дифференцирование функций, заданных аналитически

По определению производная функции f(x) равна:

  (6.1)

Переходя в (6.1) от бесконечно малых разностей к конечным, получаем приближенную формулу численного дифференцирования:

 . (6.2)

Формула (6.2) позволяет построить простой вычислительный алгоритм:

1. Задать значение точки, в которой вычисляется производная.

2. Задать значение приращения .

3. Вычислить производную в соответствие с формулой (6.2).

Замена бесконечно малых приращений конечными является причиной возникновения ошибки. Для оценки ее величины разложим функцию f(x) в точке

x + Δx в ряд Тэйлора:

   (6.3)

Подставив (6.3) в (6.2) и приведя подобные члены, получим:

  (6.4)

Из (6.4) видно, что все члены начиная со второго, определяют отличие численного значения производной от ее точного значения. Основной член погрешности равен  т.к. данный член ~Δx, говорят, что формула (6.2) имеет первый порядок точности по Δx .

Можно вычислять производную, используя симметричную разностную схему:

  (6.5)

Для оценки точности данной формулы необходимо удержать первые четыре члена в разложении в ряд Тэйлора:

 (6.6)

Раскрыв в (6.6) скобки и приведя подобные члены, получаем:

  (6.7)

Из (6.7) видно, что основной член погрешности равен 

данный член ~(Δx)2 , говорят, что формула (6.5) имеет второй порядок точности по Δx.

6.2. Особенности задачи численного дифференцирования функций, заданных таблицей

Пусть известны табличные значения функции f(x) в конечном числе точек отрезка [a,b]. Требуется определить значение производной в некоторой точке отрезка [a,b].

Для вычисления значений функции, заданной таблично, в лекции № 5 мы строили интерполяционный полином Fn(x), продифференцировав который, можно получить значение производной

 (6.8)

Полагая, что погрешность интерполирования определяется формулой

Rn(x)=f(x)-Fn(x), . (6.9)

находим оценку погрешности вычисления полинома

 (6.10)

Отметим, что задача численного дифференцирования является некорректной, т. к. погрешность производной полинома может существенно превышать погрешность интерполяции.

6.3. Интегрирование функций, заданных аналитически

C геометрической точки зрения определенный интеграл

  (6.11)

- есть площадь фигуры, ограниченная графиком функции f(x) и прямыми

x = a, x = b

(рис. 6.3).

Рис. 6.3. K объяснению геометрического смысла определенного интеграла

Разделим отрезок [a,b] на N равных отрезков длиной Dx, где

 (6.12)

Тогда координата правого конца i-го отрезка определяется по формуле

 (6.13)

где

 Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация метода правых прямоугольников

Простейшая оценка площади под кривой f(x) может быть получена как сумма площадей прямоугольников, одна из сторон которого совпадает с отрезком , а высота равна значению функции в точке хi (метод левых прямоугольников, рис. 6.4) или в точке xi+1 (метод правых прямоугольников, рис. 6.5). Погрешность вычисления значения интеграла на каждом шаге показана на рисунках закрашенными фигурами.

Значение определенного интеграла вычисляется по формулам

 (6.14)

 (6.15)

для методов левых и правых прямоугольников, соответственно.

Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменять реальную функцию на каждом интервале , i = 0,1,…,N -1 отрезком прямой, проходящей через точки с координатами  - линейная интерполяция.

B этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми x = xi, x = xi+l, является трапецией. Искомый определенный интеграл определяется как сумма площадей всех трапеций:

 (6.16)

Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической интерполяции (полиномом второй степени) по трем соседним точкам:

y = ax2+bx + c (6.17)

Для нахождения коэффициентов a, b, с полинома, проходящего через точки  нужно найти решение следующей системы линейных уравнений:

 (6.18)

относительно неизвестных a, b, с.

Решив систему (6.18) относительно неизвестных a, b, с любым известным методом (например, Крамера), подставив найденные выражения в (6.17) и выполнив элементарные преобразования, получаем

 (6.19)

Отметим, что формула (6.19) совпадает с интерполяционным полиномом Лагранжа, подробно рассмотренным в лекции 5, при интерполяции по трем точкам.

Площадь под параболой y = y(x) на интервале [х0 ,x2] находится посредством элементарного интегрирования (6.19):

 (6.20)

где

Искомый определенный интеграл находится как площадь всех параболических сегментов (формула Симпсона):

. (6.21)

Обратите внимание на то обстоятельство, что в формуле Симпсона N должно быть четным числом.


Практикум по теме «Тройной интеграл»