Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Погрешность численного интегрирования

Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке [a,b] от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тeйлора:

 (6.22)

Тогда интеграл от данной функции на отрезке [xi ,xi+1] будет равен:

 (6.23)

Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования Δi, на отрезке   равняется разности между точным значением интеграла и его оценкой :

 (6.24)

Из (6.24) видно, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет порядок (Δx2) или в символической записи O((Δx)2). Поскольку полное число отрезков равно N, a

Δx = (b - a)/N, то полная погрешность метода левых прямоугольников по порядку величины равна  Аналогично можно показать, что погрешность метода правых прямоугольников также пропорциональна N-1.

Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке  вычисляется по формуле  , то погрешность равна:

 (6.25)

Заменив в (6.25) первый член выражением (6.23), значение функции в точке  будет разложением в ряд Тэйлора:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, обнаруживаем, что член, пропорциональный первой производной функции, сокращается, и погрешность на одном отрезке равна . Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке [a,b] по порядку величины равна . Так как формула Симпсона основывается на приближении функции f(x) параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность по величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности, поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный   . Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке  пропорциональна , а полная погрешность на отрезке [a,b ] по порядку величины составляют O(N-4).

Полезно получить оценку погрешности вычисления интеграла от функции, зависящей от двух переменных, который с геометрической точки зрения представляет собой объем фигуры под поверхностью, заданной функцией f(x,y). B прямоугольном приближении данный интеграл равен сумме объемов параллелепипедов с площадью основания ΔxΔy и высотой, равной значению функции f(x,y) в одном из углов. Для определения погрешности разложим функцию f(x,y) вряд Тейлора:

 (6.26)

где  - частные производные по соответствующим переменным. Погрешность вычисления интеграла Δi, равна

 (6.27)

Подставив (6.26) в (6.27), выполнив интегрирование и приведя подобные члены, получаем, что член, пропорциональный , сокращается, а интеграл от  дает . Интеграл от данного выражения по  дает еще один множитель Δy. Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального (y - yi). Так как порядок погрешности Δу также составляет O(Δx), то погрешность интегрирования по прямоугольнику  равна

 (6.28)

Из (6.28) видно, что погрешность интегрирования по одному параллелепипеду составляет  Так как имеется N параллелепипедов, полная погрешность по порядку величины равна . Однако в двумерном случае ~, поэтому полная погрешность . Напомним, что в одномерном случае полная погрешность метода прямоугольников . Аналогичные оценки для двумерных обобщений формул трапеций и Симпсона показывают, что они соответственно равны . Вообще можно показать, что если для одномерного случая погрешность составляет , то в d-мерном случае она равна .

Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Проиллюстрируем идеи метода Монте-Карло на примере вычисления определенного интеграла от функции, зависящей от одной переменной. Пусть нам необходимо вычислить интервал (6.11) от некоторой заданной функции f(x) на интервале [a,b]. B предыдущем разделе мы рассмотрели несколько различных формул интегрирования, в которых использовались значения функции f(x), вычисляемые в равноотстоящих точках. Однако можно использовать и другой подход, суть которого легко понять из следующего примера.

Рис. 6.7. K объяснению метода Монте-Карло

Представим себе прямоугольник высотой H и длиной (b - а), такой, что функция f(x) целиком лежит внутри данного прямоугольника (рис. 6.7). Сгенерируем N пар случайных чисел, равномерно распределенных в данном прямоугольнике:

 (6.29)

Тогда доля точек , удовлетворяющих условию , является оценкой отношения интеграла от функции f(x) к площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка интеграла в данном методе может быть получена по формуле:

 (6.30)

где ns - число точек, удовлетворяющих условию ; N — полное количество точек, A — площадь прямоугольника.

Можно  предложить и другой путь вычисления определенного интеграла, рассматривая его как среднее значение функции f(x) на отрезке [a,b]:

 (6.31)

 е  — последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке [a,b].

Отметим, что в отличие от ранее упомянутых методов погрешность метода Монте-Карло не зависит от размерности и меняется как . Следовательно, для достаточно больших d интегрирование по методу Монте-Карло будет приводить к меньшим погрешностям при тех же значениях N.


Практикум по теме «Тройной интеграл»