Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Методы обработки экспериментальных данных

Метод наименьших квадратов

Пусть в результате измерений в пpoцecce опыта получена таблица некоторой зависимости f(x) (табл. 7.1).

 Таблица 7.1. Исходные данные для метода наименьших квадратов

x

 x1 x2 … x n 

F(x)

 y1 y2 … yn

Требуется найти формулу, выражающую данную зависимость аналитически.

Один из подходов к решению данной задачи состоит в построении интерполяционного многочлена, значения которого будут в точках  совпадать с соответствующими значениями f(x) из табл. 7.1. Однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадения характеров исходной и интерполирующей функций. Требование неукоснительного совпадения значений тем более не оправдано, если значения функций f(x) известны с некоторой погрешностью (рис. 7.1).

 Рис. 7.1. K объяснению метода наименьших квадратов

Поставим задачу так, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции: найти функцию заданного вида

y=F(x), (7.1)

которая в точках  принимает значения как можно более близкие к табличным значениям .

Следует отметить, что строгая функциональная зависимость для табл.7.1. наблюдается редко, т. к. каждая из входящих в нее величин может зависеть от многих случайных факторов, поэтому обычно используют простые по виду аналитические функции.

Рассмотрим один из наиболее распространенных способов нахождения функции F(x). Предположим, что приближающая функция F(x) в точках  имеет значения

 

Требование близости табличных значений  и значений (7.2) можно истолковать таким образом. Будем рассматривать совокупность значений функции f(x) из табл. 7,1 и совокупность значений (7.2) как координаты двух точек n-мерного пространства. C учетом этого задача приближения функции может быть переформулирована следующим образом: найти такую функцию F(x) заданного вида, чтобы расстояние между точками

 и  было наименьшим. Воспользовавшись метрикой Евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина

  (7.3)

была наименьшей. Это равносильно следующему: сумма квадратов

  (7.4)

должна быть наименьшей.

Приведем окончательную формулировку задачи приближения функции f(x): для функции f(x), заданной табл. 7.1, найти функцию F(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов (7.4) была наименьшей. Эта задача называется приближением функции методом наименьших квадратов. B качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика f(x) часто используют функции, представленные далее. (Здесь a, b, m — неизвестные параметры.)


  

  

  

  


Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции, зависящей от трех параметров:

  (7.5)

Имеем:

  (7.6)

Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f(x) и F(x) имеет вид:

  (7.7)

Сумма является функцией  трех переменных. Используя необходимое условие экстремума:

 

получаем систему уравнений:

   (7.8)

Решив систему (7.8) относительно параметров a, b, с, получаем конкретный вид функции  Изменение количества параметров нe приведет к изменению сути самого подхода, а выразится в изменении количества уравнений в системе (7.8).

Значения разностей

  (7.9)

называют отклонениями измеренных значений от вычисленных по формуле (7.5).

Сумма квадратов отклонений

   (7.10)

в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции должна быть наименьшей.

Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого (7.10) имеет наименьшее значение.

7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена

Ищем приближающую функцию в виде:

  (7.11)

Находим частные производные

   (7.12)

Составляем систему  вида (7.8)

  

Имеем:

  (7.13)

Разделив каждое уравнение (7.13) на n, получаем:

 

Введем обозначения:

 

Тогда последняя система будет иметь вид:

 

или в матричной форме:

 

Откуда:

  (7.14)

Вычислив значения параметров a, b в соответствие с (7.14), получаем конкретные значения и, следовательно, конкретный вид линейной функции (7.11)

B случае нахождения приближающей функции в форме квадратного трехчлена имеем:

  (7.15)

Находим частные производные:

 

Составляем систему вида (7.8):

 

Далее имеем:

 

Разделив каждое уравнение на n и перенеся члены, не содержащие неизвестные параметры в правую часть, получаем:

   (7.16)

Решив систему (7.16) относительно неизвестных a, b, с, находим значения параметров приближающей функции.


Практикум по теме «Тройной интеграл»