Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Преобразование Фурье

Разложение периодических функций в ряд Фурье

По определению периодической функцией называют функцию, отвечающую условию:

  (8.1)

где Т—период функции, n = 1, 2,...

Для нахождения спектрального разложения функции s(t) введем в рассмотрение следующие наборы функций:

  (8.2)

Любая из функций (8.2), которую для краткости обозначим , удовлетворяет условию периодичности (8.1). Рассмотрим три следующие интеграла:

 ,

 , (8.3)

Функции, удовлетворяющие условию (8.3), называют ортогональными, а систему функций (8.2) — ортонормированным базисом, образованным гармоническими функциями с кратными частотами. Условие ортогональности можно записать в компактной форме, используя символ Кронекера:

  (8.4)

где

Разложим произвольную периодическую функцию s(t) в ряд

  (8.5)

Представление (8.5) называется обобщенным рядом Фурье функции s(t) в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находятся умножением (8.5) на базисную функцию  и интегрированием по периоду функции s(t):

   (8.6)

Откуда, используя свойство ортонормированности (8.4), найдем

  (8.7)

Подставляя в (8.7) набор функций (8.2), найдем значения коэффициентов ряда:

  (8.8a)

  (8.8b)

  (8.8c)

Введя основную частоту  последовательности, образующей периодическую функцию s(t), запишем ряд Фурье для периодического сигнала:

   (8.9)

Анализ (8.9) показывает, что функция s(t) содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых, гармоник с частотами , кратными основной частоте последовательности. Можно показать, что имеет место равенство

  (8.10)

Если записать коэффициенты ряда Фурье в виде

 ,

где

 

то получим эквивалентную форму ряда Фурье:

  (8.11)

Спектральное разложение периодической функции s(t) можно выполнить, используя систему базисных функций в виде экспонент с мнимыми показателями:

  (8.12)

которые являются  ортогональными, как легко убедиться, вычислив интеграл:

 

Ряд Фурье в данном случае принимает вид:

  (8.13)

с коэффициентами

   (8.14)

Ha практике принято использовать и другую форму записи ряда Фурье:

  (8.15)

где

  (8.16)

Выражения (8.13) - (8.16) представляют собой ряд Фурье в комплексной форме. Спектр функции s(t) в соответствии с формулами (8.15), (8.16) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем , поэтому слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

  .

Таким образом, отрицательная частота является не физическим, а математическим понятием, вытекающим из способа представления комплексных чисел.

Эффект Гиббса

Эффект Гиббса возникает при решении задачи синтеза для разрывных функций. Изучим основные его проявления на примере прямоугольной импульсной функции

 ,

которая имеет скачек, равный 1 в точке разрыва T/2. Формальное разложение в ряд Фурье находится подстановкой функции s(t) в формулы (8.8), вычислением интегралов, оказывающихся равными

 

и подстановкой выражений для коэффициентов в (8.9):

 

Использование конечного числа членов ряда приводит к тому, что частичные суммы ряда, являются функциями, в которых присутствуют периодические составляющие. Их период равен периоду последнего удержанного члена или первого оставленного.

K. Ланцош предложил способ уменьшения эффекта пульсаций за счет сглаживания усеченного ряда

  (8.17)

интегрированием (усреднением) по периоду последнего оставленного члена.

При выборе в качестве интервала сглаживания периода последнего члена усеченного ряда Фурье сглаженное значение  получим как среднее от

   (8.18)

Подставляем (8.17) в (8.18) получим:

Применяя известные тригонометрические формулы, окончательно находим:

  (8.19)

где  — так называемые сигма-факторы:

   (8.20)

Таким образом, сглаженный ряд Фурье есть исходный ряд Фурье с коэффициентами, умноженными на соответствующие сигма-факторы. Отметим, что эффект сглаживания достигается за счет того, что при k = N сигма-фактор N-го члена оказывается равным нулю.

C физической точки зрения формулу (8.19) можно трактовать как наблюдение исходной функции sN(t) через узкое просвечивающее прямоугольное окно шириной T/N. Наблюдаемая функция hN(t) есть средняя интенсивность света от исходной функции sN(t). Она оказывается более яркой, когда функция sN(t) больше, и менее яркой, когда функция меньше.


Практикум по теме «Тройной интеграл»