Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности

Рассмотрим особенности спектрального представления дискретной функции, заданной на временном интервале конечной длительности [0, Т] N отсчетами  взятыми соответственно в моменты времени . Полное число отсчетов

Можно показать, что для дискретной последовательности коэффициенты ряда Фурье определяются таким образом:

  (8.21)

Формула (8.21) устанавливает последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое имеет следующие свойства:

ДПФ есть линейное преобразование;

число коэффициентов  вычисляемых в соответствии с (8.21), равно числу отсчетов дискретной последовательности;

коэффициент  (постоянная составляющая) есть среднее значение дискретной последовательности;

если N - четное число, то

 

для вещественной дискретной последовательности коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно N/2, образуют сопряженные пары:

 ,

поэтому можно считать, что коэффициенты  отвечают отрицательным частотам;

если для дискретной последовательности  найдены коэффициенты ДПФ  то восстановление исходной дискретной последовательности может быть осуществлено по формуле

  (8.22)

Быстрое преобразование Фурье

Из формул (8.21) и (8.22) видно, что для вычисления ДПФ или обратного ДПФ последовательности из N элементов требуется выполнить N2 операций с комплексными числами. Если число элементов обрабатываемых массивов составляет порядка тысячи и более, то время, необходимое на выполнение этих преобразований, резко возрастает и теряется возможность обработки сигналов в реальном масштабе времени.

B 60-е годы Кули и Тьюки был предложен метод вычисления коэффициентов Фурье, позволивший снизить объем вычислений до   операций. Он получил название алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

B настоящее время процедуры, реализующие алгоритм БПФ входят во все математические библиотеки, используемые при написании программ на языках программирования высокого уровня и специализированные пакеты для математических вычислений. B связи с тем, что подробное рассмотрение алгоритма выходит за рамки нашей книги, мы рассмотрим только ocновую идею БПФ для случая, когда число отсчетов  , где p — целое число.

Разобьем входную последовательность {sk} на две части с четными и нечетными номерами:

   (8.23)

где

Это позволяет представить n-й коэффициент ДПФ в виде

 (8.24)

Из (8.24) видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до N/2-1 выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей:

  (8.25)

где

Так как последовательности коэффициентов массивов  являются периодическими с периодом  , то

 

Подставляя (8.26) в (S.25) и учитывая, что

  (8.27)

получаем выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ:

  (8.28)

где

Формулы (8.26), (8.28) лежат в основе алгоритма БПФ: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбиваются на две части. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из одного элемента. ДПФ данной последовательности совпадет с сами элементом. Затем последовательно находятся коэффициенты ДПФ предыдущих последовательностей.


Практикум по теме «Тройной интеграл»