Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Общие сведения и определения

Определение 9.l. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называют соотношение вида

 . (9.1)

Определение 9.2. Дифференциальное уравнение вида

  (9.2)

где  — заданная функция двух переменных, называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение 9.3. Решением дифференциального уравнения на интервале I называется непрерывно дифференцируемая функция , превращающая уравнение в тождество на I.

Для дифференциального уравнения первого порядка (9.1), (9.2), по определению получаем:

  (9.3)

 . (9.4)

пределение 9.4. Соотношение (9.3) называется решением уравнения (9.4) в неявной форме (или интегралом уравнения (9.2)), если оно определяет у как функцию от x: , которая есть решение уравнения (9.2).

Определение 9.5. График решения   уравнения (9.2) называется интегральной кривой данного уравнения.

Определение 9.6. Проекция графика решения на ось ординат называется фазовой кривой или траекторией дифференциального уравнения.

Определение 9.7. Задача о нахождении решения  уравнения (9.2), удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши.

Определение 9.8. Через каждую точку (x,y) из области определения уравнения (9.2) проведем прямую, тангенс угла которой к оси абсцисс равен f(x,y). Данное семейство прямых называется полем направлений, соответствующим уравнению (9.2).

Интегральная кривая в каждой своей точке касается поля направлений функции f(x,y).

Существование и единственность задачи Коши дифференциальных уравнений (9.1), (9.2) обеспечивается теоремой Пикара.

Теорема Пикара. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G, определяемой неравенствами

  (9.5)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у:

  (9.6)

то на некотором отрезке  где h — положительное число, существует и притом только одно решение  уравнения (9.2), удовлетво­ряющее начальному условию .

Здесь М - константа Липшица, зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет в G ограниченную производную  то при   можно принять

  (9.7)

Определение 9.9. Дифференциальным уравнением n-го порядка называют соотношение вида

  (9.8)

где х - независимая переменная,  - неизвестная функция аргумента х, -заданная функция переменных .

Определение 9.10. Задача о нахождении решения уравнения (9.8),удовлетворяющего начальным условиям

  (9.9)

где , ,  - заданные числа, называется задачей Коши для системы дифференциальных уравнений.

Разрешив дифференциальное уравнение (9.8) относительно производной y(n) и выполнив следующую замену переменных:

  (9.10)

дифференциальное уравнение n-го порядка сводится к системе дифферен­циальных уравнений первого порядка:

   (9.11)

Например, уравнение второго порядка

  (9.12)

можно записать в виде двух уравнени

  (9.13)

Методы решений дифференциальных уравнений подразделяются на три основные группы:

Аналитические методы решения.

Графические методы.

Численные методы.

Метод Пикара

Метод Пикара позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (9.2) в виде функции, заданной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решения (9.2) с начальным условием . Запишем уравнение (9.1) в следующем эквивалентном виде:

  (9.14)

Проинтегрируем обе части (9.14) от x0 до x:

  (9.15)

Вычислив интеграл в правой части, получим:

  (9.16)

Очевидно, что решение интегрального уравнения (9.16) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (9.2) и начальному условию . Действительно, при х = х0 получим:

 

Интегральное уравнение (9.16) позволяет использовать метод последовательных приближений. Положим   и получим из (9.16) первое приближение:

  (9.17)

Интеграл, стоящий в правой части (9.17), содержит только переменную x, после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения у1, как функции переменной x. Заменим теперь в уравнении (9.16) у найденным значением y1(x) и получим второе приближение:

  (9.18)

и т.д.

B общем случае итерационная формула имеет вид:

  (9.19)

Последовательное применение формулы (9.19) дает последовательность функций:

  (9.20)

Так как функция f непрерывна в области G, то она ограничена в некоторой области , содержащей точку (х0,у0), т. e.

   (9.21)

Применяя к уравнению (9.19) принцип сжимающих отображений, можно показать, что последовательность (9.20) сходится по метрике  в пространстве непрерывных функций , определенных на сегменте , таких, что  . Предел последовательности является решением интегрального уравнения (9.16), а, следовательно, и дифференциального уравнения (9.2) с начальными условиями .Это означает, что k-й член последовательности (9.20) является приближением к точному решению уравнения (9.2) с определенной степенью точности.

Оценка погрешности k-гo приближения дается формулой:

   (9.22)

где M - константа Липшица (9.7), N - верхняя грань модуля функции f из неравенства (9.21), а величина d для определения окрестности

вычисляется по формуле:

  (9.23)

Метод Эйлера

B основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений (риc.9.1).

 Рис. 9.1. Графическая интерпретация метода Эйлера

Пусть дано уравнение (9.2) с начальным условием .Выбрав достаточно малый шаг h, построим, начиная с точки x0, систему равноотстоящих точек . Вместо искомой интегральной кривой на отрезке  рассмотрим отрезок касательной к ней. В точке  уравнение которой

При  из уравнения касательной получаем  Следовательно приращение функции на первом шаге равно

Проведя аналогично касательную к интегральной кривой в точке , получим:

что при  дает , т.е. y2 получается из y1 добавлением приращения .

Таким образом, вычисление таблицы значений функции, являющейся решением дифференциального уравнения (9.2), состоит в последовательном применении пары формул:

  (9.24)

  (9.25)

Метод Эйлера, как видно из рис. 9.1, имеет погрешность. Найдем локальную погрешность, присутствующую на каждом шаге, которая определяется разностью между точным значением функции и соответствующим значением касательной. Для первого шага:

 (9.26)

Из (9.26) видно, что локальная погрешность пропорциональна h2. Суммарная погрешность  после N шагов пропорциональна , поскольку , то  = O(h), т. e. метод Эйлера - метод первого порядка точности по h.

Известны различные уточнения метода Эйлера. Модификации данных методов направлены на уточнение направления перехода из точки  в точку .Например, в методе Эйлера-Коши используют следующий порядок вычислений:

  (9.27)

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке   и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берется среднее значение этих направлений.


Практикум по теме «Тройной интеграл»