Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 1.

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

 , (1)

где  – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

 , (2)

где  где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2) следует, что

 (3)

Полагаем начальное приближение  Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Метод Чебышева

Пусть  – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

 , (4)

   

где  – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.

  Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Задание.

 Написать программы для решения системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева. Исходная система имеет вид:

 

где матрица

– искомый вектор-столбец.

Провести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы.

Оценить  и .

Вычислить  для метода простых итераций и  для метода Чебышева.

Написать подпрограмму для расчета невязки

Составить программу для метода простых итераций и провести вычисления с указанной точностью.

Составить программу для метода Чебышева и провести вычисления с указанной точностью.


Практикум по теме «Тройной интеграл»