Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

 Лабораторная работа № 2.

Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона

 Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении  подынтегральную функцию  заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где  – остаточный член. Если  непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

 Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок  на чётное  число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков  длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для много членов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному члену  часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной подынтегральной функции.

 На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число  кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом  (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом  (обозначим его ).

 За приближённое значение   интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

Задание. Составить программу вычисления   по формуле Симпсона с поправкой Рунге. Оценить погрешность по Рунге. Произвести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Выбрать чётное число  для составной формулы Симпсона.

Написать подпрограмму-функцию для вычисления подынтегральной функции.

Составить головную программу.

Произвести вычисления по программе.

Варианты заданий.

1.  10.

2.  11.

3.  12.

4.  13.

5.  14.

6.  15.

7.  16.

8.  17.

9.  18.

19.  20.

21.  22.

23.


Практикум по теме «Тройной интеграл»