Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 3.

Приближённое вычисление интеграла по квадратурной формуле Гаусса.

 В лабораторной работе 6 отмечалось, что алгебраический порядок точности квадратурной формулы Симпсона равен трём. Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы  и коэффициенты  подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если  – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку  выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ;  – узлы квадратурной формулы Гаусса;  – гауссовы коэффициенты; .

 Можно показать, что узлы  квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при  для узлов  получаем . При этом . Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

 Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности   формула Гаусса с  узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Задание. Вычислить .

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Составить подпрограмму-функцию   для вычисления значений подынтегральной функции .

Составить головную программу и печать результатов.

Произвести вычисления на ЕС ЭВМ.

Варианты заданий.

1.  14.   27.  

2.  15.   28.

3.  16.   29.

4.  17.   30. .

5.  18.

6.  19.

7.  20.

8.  21.

9.  22.

10.  23.

11.  24.

12.  25.

13.  26.


Практикум по теме «Тройной интеграл»