Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 7

ТЕМА: Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

Согласно определению 4.2 запишем однородную систему линейных уравнений.

 (7.1).

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное решение.

Согласно общей теории, если , то единственным является тривиальное решение.

Если же , то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные.

Теорема 7.1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Доказательство

По теореме Крамера (5.1)  тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное  (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда  (т.е. решений системы бесконечное множество).

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

 векторов (если ):

, …, . (7.2)

Покажем, что вектора  – линейно независимы. Для этого составим матрицу  из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля     столбцов матрицы  линейно независимы.

Следовательно, вектора  – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

Определение 7.1

Всякая линейно независимая система  решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.

Замечание 1. Отличный от нуля минор матрицы порядка , такой, что всякие миноры порядка  и выше, (если такие имеются) равны нулю, называется базисом.

Итак, общее решение СЛОУ:

 (7.3),

где  - фундаментальная система решений,

 - произвольные постоянные.

Пример 7.1

;

 ~ .

, , .

Системы линейных неоднородных уравнений (СЛНУ)

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

 (7.4)

Пусть .

Пусть  – решение этой системы, т.е.  (7.5)

Вычитая из (7.4) выражение (7.5), получим:

.

 является решением соответствующего однородного уравнения.

Согласно (7.3) .

В нашем случае  или  (7.4).

Таким образом:

Теорема 7.2

Общее решение представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1

Разность двух произвольных решений систем линейных неоднородных уравнений является решением соответствующей системы линейных однородных уравнений .

Следствие 2

Сумма любого частного решения системы линейных неоднородных уравнений с любым частным решением соответствующей системы линейных однородных уравнений дает частное решение системы линейных неоднородных уравнений .

Замечание 2. В формуле (5.5)  - частное решение системы.

Пример 7.2

,

Отображения

Отображение – одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть  и  – произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение  множества  на множество  (запись: или ) если каждому элементу  множества  () поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент  множества  ().

Элемент  называется образом элемента  при отображении , а элемент  называется прообразом элемента  при этом отображении. Образом множества  элементов  при отображении  называется множество всех элементов вида , принадлежащих области значений . Множество  всех элементов (), образы которых  составляют область значений  называется прообразом множества  элементов  (). Множество  называется областью определения отображения .

Отображение  называется сюръективным, когда каждый элемент  множества  () имеет хотя бы один прообраз  множества   (), т.е. , или .

Отображение  называется инъективным, когда каждый элемент  множества  () является образом лишь одного элемента  множества  (), т.е. образы любых двух различных элементов множества  различны, т.е. из  следует .

Отображение  называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества  является образом одного и только одного элемента множества .

Равенство двух отображений   и  означает по определению, что их соответствующие области совпадают ( и ), причем  .

Произведение двух отображений  и  можно определить как отображение , которое каждому элементу  множества   ставит в соответствие элемент  множества  .

Отображение  множества  на множество  иначе называется функцией на множестве  со значениями во множестве . Если множества  и  совпадают, то биективное отображение множества  на себя  называется преобразованием множества . Простейшее преобразование множества  – тождественное  – определяется так:  . Тождественное отображение , переводящее каждый элемент  в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования  и , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования , называется произведением преобразований  и : .

Для преобразований ,  и  одного и того же множества  справедливы следующие законы:


Пример. Изменить порядок интегрирования