Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

 

Лабораторная работа № 4.

Тригонометрическая интерполяция

 Пусть функция   задана на отрезке  таблицей значений  в равностоящих узлах  . Тригонометрическим многочленом степени  называют многочлен

.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного много члена наименьшей степени, удовлетворяющего условиям . Можно показать, что решением этой задачи является тригонометрический многочлен

 ,  (1)

коэффициенты, которого вычисляются по следующим формулам:

,

 ,  (2)

.

 Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из этого факта, что с возрастанием   многочлен  аппроксимирует  с возрастающей точностью, т.е.

,

это утверждение справедливо для достаточно широкого класса функций. Этим тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической интерполяции на системе равноотстоящих узлов. При алгебраическом интерполировании разность между функцией   и интерполяционном многочленом может быть как угодно большой всюду, кроме узлов интерполяции. Тригонометрическое интерполирование полностью свободно от этого недостатка.

Задание. Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию , заданную таблицей значений в точках  .

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Составить головную программу.

Провести вычисления на ЕС ЭВМ.

Варианты заданий.

Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию, заданную в точках

  таблицей значений

Вариант 1

1.00; 1.803; 3.085; 4.776; 6.434; 7.347; 7.027; 5.652; 3.897; 2.381; 1.347; 7.422; 0.419; 0.256; 0.176; 0.142; 0.136; 0.155; 0.209; 0.324; 0.554

Вариант 2

7.38; 6.76; 5.22; 3.47; 2.07; 1.16; 0.64; 0.36; 0.23; 0.16; 0.13; 0.13; 0.16; 0.23; 0.37; 0.64; 1.16; 2.08; 3.48; 5.22; 6.76

Вариант 3

–1.24; –1.17; –1.08; –0.96; –0.84; –0.79; –0.8; –0.9; –1.1; –1.21; –1.02; –1.28; –1.32; –1.34: –1.36; –1.37; –1.37; –1.36; –1.35; –1.33; –1.30

Вариант 4

–3.0; –3.58; –4.12; –4.56; –4.86; –4.99; –4.94; –4.73; –4.36; –3.86; –3.30; –2.7; –1.64; –1.26; –1.05; –1.00; –1.13; –1.43; –1.87; –2.43

Вариант 5

1.0; 1.05; 90.6; 520.4; 1714.7; 2915.0; 2439.2; 1020.6; 230.7; 32.17; 3.29; 0.3; 0.03; 0.004; 0.001; 0.0003; 0.0006; 0.002; 0.01; 0.09; 0.9

Вариант 6

2980.1; 2089.3; 742.4; 146.6; 18.6; 1.8; 0.16; 0.02; 0.003; 0.001; 0.001; 0.001; 0.002; 0.003; 0.018; 0.9; 1.22; 18.6; 146.6; 742.5; 2089.7

Вариант 7

1.0; 1.34; 1.75; 2.18; 2.53; 2.71; 2.65; 2.37; 1.97; 1.54; 1.16; 0.86; 0.64; 0.5; 0.42; 0.37; 0.36; 0.39; 0.45; 0.56; 0.74

Вариант 8

2.71; 2.6; 2.28; 1.86; 1.44; 1.07; 0.8; 0.46; 0.42; 0.4; 0.37; 0.37; 0.4; 0.48; 0.6; 1.07; 1.44; 1.86; 2.28; 2.6

Вариант 9

–1.32; –1.28; –1.26; –1.24; 1.25; –1.25; –1.25; –1.26; –1.27; –1.29; –1.29; –1.33; –1.34; –1.37; –1.37; –1.37; –1.37; –1.36; –1.36; –1.35; –1.34

Вариант 10

–4.0; –4.2; –4.5; –4.7; –4.9; –5.0; –4.9; –4.9; –4.8; –4.6; –4.4; –4.1; –3.8; –3.5; –3.1; –3.0; –3.0; –3.0; –3.1; –3.2; –3.4; –3.7

Вариант 11

1.0; 2.4; 5.4; 10.4; 16.3; 19.9; 18.6; 13.4; 7.7; 3.6; 1.6; 0.64; 0.27; 0.13; 0.07; 0.05; 0.05; 0.06; 0.09; 0.18; 0.4

Вариант 12

20.0; 17.5; 11.9; 6.4; 2.9; 1.2; 2.9; 0.5; 0.2; 0.1; 0.06; 0.05; 0.05; 0.06; 0.1; 0.5; 1.0; 1.2; 2.9; 6.4; 11.9; 17.5

Вариант 13

–1.1; –0.8; –0.3; 0.3; 0.7; 0.8; 0.7; 0.5; 0.04; –0.6; –0.9; –1.1; –1.27; –1.32; –1.35; –1.37; –1.37; –1.36; –1.34; –1.3; –1.2

Вариант 14

–2.0; –2.8; –3.7; –4.3; –4.7; –4.9; –4.5; –4.1; –3.3; –2.4; –1.5; –0.6; –0.04; 0.6; 0.92; 0.99; 0.79; 0.34; –0.3; –1.1

Вариант 15

1.1; 3.2; 9.5; 22.8; 41.4; 53.9; 49.4; 31.9; 15.2; 5.7; 1.8; 0.55; 0.17; 0.06; 0.03; 0.02; 0.01; 0.02; 0.04; 0.1; 0.3

Вариант 16

–0.78; –1.22; –1.34; –1.39; –1.42; –1.43; –1.42; –1.41; –1.37; –1.3; –1.1; –0.1; 1.1; 1.2; 1.33; 1.36; 1.37; 1.35; 1.3; 1.17; 0.65

Вариант 17

54.5; 45.7; 27.2; 12.1; 4.3; 1.3; 0.4; 0.13; 0.05; 0.03; 0.02; 0.02; 0.03; 0.05; 0.13; 0.41; 1.3; 4.3; 12.1; 21.2; 45.7

Вариант 18

–0.78; 0.18; 0.89; 1.13; 1.21; 1.18; 1.04; 0.63; –0.38; –1.01; –1.22; –1.3; –1.35; –1.36; –1.37; –1.36; –1.33; –1.27; –1.1

Вариант 19

–1.0; –2.1; 3.2; –4.1; –4.7; –4.9; –4.8; –4.4; –3.7; –2.7; –1.6; –0.4; 0.7; 1.7; 2.4; 2.9; 3.0; 2.7; 2.1; 1.2; 0.2

Вариант 20

1.0; 4.36; 16.7; 49.8; 105.0; 146.3; 130.9; 75.9; 30.0; 8.75; 2.1; 0.47; 0.11; 0.03; 0.01; 0.007; 0.006; 0.009; 0.02; 0.05; 0.2

Вариант 21

148.4; 118.8; 62.6; 22.5; 6.21; 1.45; 0.33; 0.08; 0.02; 0.01; 0.007; 0.007; 0.01; 0.02; 0.08; 0.32; 1.45; 6.2; 22.6; 62.2; 119.0

Вариант 22

0.0; 0.97; 1.23; 1.32; 1.36 1.37; 1.36; 1.34; 1.28; 1.13; 0.64; –0.64; –1.13; –1.28; –1.34; –1.37; –1.36; –1.32; –1.23; –0.9; –0.2

Вариант 23

–0.0001; –1.47; –2.8; –3.9; –4.65; –4.98; –4.87; –4.33; –3.4; –2.16; –0.74; 0.74; 2.17; 3.14; 4.33; 4.87; 4.98; 4.65; 3.9; 2.8; 1.4

Вариант 24

1.0; 5.8; 29.3; 108.9; 266.44 396.7; 347.1; 180.5; 59.2; 13.5; 2.4; 0.4; 0.07; 0.01; 0.005; 0.003; 0.002; 0.004; 0.009; 0.03; 0.1

Вариант 25

403.4; 309.0; 142.2; 42.1; 8.9; 1.56; 0.26; 0.05; 0.01; 0.0044; 0.0026; 0.0026; 0.0044; 0.01; 0.05; 0.263; 1.56; 8.95; 42.1; 142.2; 309.9

Вариант 26

0.78; 1.22; 1.34; 1.39; 1.42; 1.43; 1.42; 1.41; 1.37; 1.3; 1.1; 0.1; –1.1; –1.2; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.3; 1.17; –0.65

Вариант 27

1.0; –0.77; –2.3; –3.6; –4.6; –4.9; –4.8; –4.1; –3.1; –1.6; 0.1; 1.9; 3.6; 5.1; 6.2; 6.84; 6.98; 6.58; 5.69; 4.4; 2.7

Вариант 28

1.0; 7.8; 51.5; 238.1; 675.9; 1075.4; 920.1; 429.3; 110.8; 20.8; 2.83; 0.35; 0.04; 0.01; 0.002; 0.001; 0.001; 0.001; 0.004; 0.02; 0.12

Вариант 29

1.10; 1.32; 1.40; 1.43; 1.45; 1.46; 1.44; 1.42; 1.37; 1.25; 0.76; –0.8; –1.22; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.29; –1.1; –0.1

Вариант 30

2.0; –0.06; –1.9; –3.4; –4.9; –4.8; 4.0; –2.7; –1.1; 0.95; 3.0; 5.0; 6.7; 8.1; 8.8; 8.9; 8.5; 7.47; 5.94; 4.06


Лабораторная работа № 5.

Метод простых итераций решения уравнения

  Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением  и построении последовательности , сходящейся при  к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

 Теорема. Пусть функция   определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что  на отрезке , то последовательность   сходится к единственному на  решению уравнения  при любом начальном значении , т.е.

, , ,

 При этом, если на отрезке   производная  положительна, то

,

если  отрицательна, то

.

 Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают  и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной  корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .

  Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций  и . Корнем  уравнения

является абсцисса точки пересечения кривой  с прямой  (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если  на отрезке , то последовательные приближения  колеблются около корня , если же производная  положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

 При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции  в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию  так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности  к корню  тем выше, чем меньше число .

 Пример. Найти корни уравнения   с точностью .

 Корни уравнения ,  легко отделяются графически. Они являются абсциссами точек пересечения графика  с прямой . Из приведенного (рис. 2) графика видно, что первый корень лежит на отрезке , а второй – на отрезке . Для определения первого корня заменим исходное уравнение эквивалентным ; здесь , . На отрезке  , т.е. . В качестве начального приближения выбираем . Вычисления прекращаем, когда . Последовательные приближения в этом случае таковы:

0,271828Е 00

0,131236Е 00

0,114024Е 00

0,112078Е 00

0,111860Е 00

0,111835Е 00

Так как

,

то принимаем . В этом результате все знаки верные.

  Для определения второго корня представляем исходное уравнения в виде . Здесь ,  и при  производная  оценивается сверху: , т.е. . Если в качестве начального приближения взять , то получаем следующие последовательные приближения:

0,299573Е 01

0,339977Е 01

0,352629Е 01

0,356283Е 01

0,357314Е 01

0,357603Е 01

0,357684Е 01

0,357706Е 01

0,357713Е 01

 Принимаем   с погрешностью 0,0001, так как

.

Задание. Используя подпрограмму ЫШЕУК, найти корень уравнения  с заданной точностью


Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Графически или аналитически отделить корень уравнения .

Преобразовать уравнение   к виду  так, чтобы в некоторой окрестности  корня  производная  удовлетворяла условию . При этом следует помнить, что чем меньше , тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке .

Составить подпрограмму функцию для вычисления значений .

Составить головную программу и печать результатов вычислений.

Провести вычисления по программе.

Варианты заданий.

Найти корень  при заданных значениях коэффициентов.


Практикум по теме «Тройной интеграл»