Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 6.

Приближённое решение уравнения методом Ньютона

 Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

 Теорема. Пусть   определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные ,  сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на   решению  уравнения .

 Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами   провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью  и есть очередное приближение  корня уравнения .

 Для оценки погрешности   приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где  – наибольшее значение модуля второй производной  на отрезке ;  – наименьшее значение модуля первой производной  на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

 Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение  не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины ,  и следующее приближение корня . При выполнении условия

величину  принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

 Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной  вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Задание. Составить программу приближённого вычисления корня уравнения  для заданной дважды дифференцируемой функции  с точностью  и произвести вычисления на ЕС ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Графически или аналитически отделить корень уравнения . Убедиться, что на найденном отрезке  функция  удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.

Выбрать начальное приближение корня   так, чтобы .

Оценить снизу величину , оценить сверху величину .

По заданному  выбрать значение  для условия окончания итерационного процесса .

Составить головную программу и печать результатов.

Провести вычисления по программе.


Варианты заданий.

Найти корень уравнения .

№ варианта

(x)

a

b

c

1

2

3

4

5

1

1.2618

1.8433

2

2.5237

3.6866

3

3.47

5.0691

4

8.8328

12.903

5

7.571

11.06

6

5.6782

8.2949

7

1.2195

1.3744

0.5

8

2.7439

3.0924

1.0

9

3.6585

4.1232

1.5

10

4.2683

4.8104

2.0

11

5.7927

6.5284

2.5

12

7.3171

8.2402

3.0

1

2

3

4

5

13

2.33

2.857

2

14

4

3.8125

3.25

15

5.33

4.59

4.25

16

6

4.99

4.75

17

7

5.5857

5.5

18

9.667

7.176

7.5

19

0.0714

0.933

20

0.3889

0.72

21

0.5476

0.6462

22

0.6304

0.6133

23

0.7

0.5882

24

0.8103

0.5524

25

0.875

0.533

26

0.9118

0.5231

27

0.9595

0.5103

 


Лабораторная работа № 7.

Решение системы нелинейных уравнений

методом Ньютона

 Рассмотрим систему  нелинейных уравнений с   неизвестными

,

 ,  (1)

……………

или в векторной форме

 ,  (1’)

где , .

 Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

 Пусть известно некоторое приближение  корня . Тогда поправку  можно найти, решая систему

.

Для определения  разложим векторную функцию  в ряд по . Сохранив только линейные по  части, получим

,

здесь через  обозначена матрица производных , если , то , где  – матрица, обратная матрице производных.

 Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле 

.

 Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы (1) состоит в построении итерационной последовательности

. (2)

 Если , то в достаточно малой окрестности корня  итерационный процесс (2) сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е. .

 Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро. Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие .

Задание. Решить систему нелинейных уравнений.

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

Определить из геометрических соображений начальное приближение решения.

Составить подпрограмму F и G вычисления значений   и .

Составить головную программу.

Провести вычисления на ЭВМ.

Варианты заданий.

Решить систему уравнений  при заданных значениях коэффициентов.

№ варианта

a

b

c

d

e

1

1.0

7.5

2

2.0

6.0

3

3.0

4.6

4

4.0

3.0

5

5.0

1.5

6

6.0

2.0

7

0.16

2.1

1.0

8

0.24

3.5

2.0

9

0.32

4.9

3.0

10

0.40

5.3

4.0

11

0.48

6.7

5.0

12

0.60

7.5

6.0

13

0.4

3.5

–1.5

0.2

0.5

14

0.8

2.0

–1.0

0.6

0.6

15

1.2

0.5

–0.5

0.8

0.7

16

1.6

–1.0

0

1.2

0.8

17

1.8

–2.0

0.1

1.6

0.8

18

2.1

–3.0

0.4

1.8

1.2

19

1.0

1.5

2.0

20

2.0

2.0

2.1

21

3.0

2.5

2.2

22

4.0

3.0

2.3

23

5.0

3.5

2.4

24

6.0

4.0

2.5

[an error occurred while processing this directive]
Практикум по теме «Тройной интеграл»