Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 10.

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Постановка задачи

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

  (1)

в квадрате  с краевыми условиями

 ,  (2)

где  – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение  задачи (1), (2).

Теоретическая часть

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости  прямоугольную сетку с шагом  по направлению  и  по направлению . Получим , . Обозначим .

 Обозначим через   множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через  – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

 Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь  и будем обозначать . Обозначим

.

 Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

 .  (3)

 Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции   в пяти точках сетки, а именно в точках  (см. рис.). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

 Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

 , (4)

 или более подробно

 ,  (5)

.

 Обозначим через   пространство функций , заданных на  и равных нулю на границе  со скалярным произведением

  . (6)

 В пространстве  определим оператор

  . (7)

 Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

 , (8)

где  – функция, заданная на сетке  и . Сеточные функции  и  будем рассматривать как вектора  – мерного пространства  с координатами .

 Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора  равны

,

 (9)

.

Метод решения

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

 ,  (10)

где , -заданное число итераций,

 .  (11)

Алгоритм

Задаём количество итераций, например, , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.

По формулам (9), (11) вычисляем , .

Вычисляем  и  по формулам (11).

Полагая  по формуле (10) находим .

Этап 4 повторяем, полагая

Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Оформление результатов работы.

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации и значения точного решения на сетке.

 


Лабораторная работа № 11.

Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом

скорейшего спуска

1. Постановка задачи

 Явным методом Чебышева требуется приближенно решить однородную задачу Неймана для уравнения Пуассона в квадрате , которая состоит в следующем: найти функцию , удовлетворяющую уравнению Пуассона и краевым условиям

 , (1)

 ,  (2)

где  – граница квадрата ,  – внешняя нормаль к .

 Функция, удовлетворяющая краевым условиям (2)

.

 Вычислим

.

 Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

.

2. Теоретическая часть

 Для аппроксимации производной в граничных условиях (2) используем формулы второго порядка точности через центральные разности. Для этого вводим дополнительные точки за пределами сеточной области . Получаем:

   (3)

.

 На расширенной сетке аппроксимируем задачу (1), (2) в виде

 

. Пользуясь соотношениями (3), дополнительные неизвестные  исключаем. Тогда получим

 ,

,

(4)

 ,

,

,

 Обозначим через   пространство функций , заданных на сетке  со скалярным произведением

 

 Сеточную функцию   будем рассматривать как вектор с координатами . В пространстве  определим оператор , который сеточной функции  с координатами  сопоставляет сеточную функцию  с координатами , где  определяется левыми частями уравнений (4). То есть

 Таким образом, краевая задача (1), (2) аппроксимируется операторным уравнением

 ,  (5)

где  – сеточная функция, . Заметим, что оператор  симметрический и однородное уравнение

   (6)

имеет нетривиальные решения  на сетке , кроме того, любое решение (6) есть   на . Обозначим  подпространство сеточных функций из , ортогональных  (например ортогональных к  на ). Такую функцию будем обозначать .  принадлежит  тогда и только тогда, когда

.

 Заметим, что   принадлежит  при любом  из . Действительно, поскольку , то

.

 Отсюда следует, что уравнение (5) имеет решение тогда и только тогда, когда  принадлежит  и любое решение определено с точностью до  на .

 Условимся выбирать решение уравнения (5) принадлежащее . Если  какое-то решение (5), то  принадлежит , где

,

а  – сеточная функция, равная  на всех точках сетки. Действительно , поэтому

.

 Уравнение (5) на подпространстве  невырожденное и

,

где  – наибольшее собственное значение оператора ,  – наименьшее неравное нулю собственное значение. Если для решения уравнения (5) мы воспользуемся итерационным процессом, то нужно следить, чтобы итерации не выходили из . Этого легко добиться при использовании явного итерационного процесса

 В этом случае

   (7)

 Откуда следует, что если .

  Заметим здесь, что если для решения задачи (5) потребуется большое число итераций, то, в силу накопления погрешностей  может выходить из , поэтому следует через некоторое количество итераций подправлять , то есть заменять  на

 . (8)

3. Алгоритм

1) Задаём , начальное приближение

2) Вычисляем параметры   по формуле

3) Вычисляем  по формуле (7).

4) Через 10 итераций подправляем  по формуле (8).

5) Вычисление проверить до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.

4. Оформление результатов работы.

 Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадением первых четырех знаков и значение точного решения на сетке.

[an error occurred while processing this directive]
Практикум по теме «Тройной интеграл»