Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 12.

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом переменных направлений

1. Постановка задачи

1) Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона

  (1)

  , (2)

в области , где  – граница квадрата . Пусть

 ,  (3)

тогда  – точное решение задачи (1), (2).

  Написать программы для реализации метода переменных направлений на любом языке программирования. Оценить точность решения задачи.

2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Пусть  – замкнутый квадрат,  – его граница,  – заданная на  достаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем: требуется найти непрерывную на  функцию , удовлетворяющую на открытом квадрате  уравнению Пуассона (1) и обращается в 0 на границе квадрата.

 Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим , . Построим сетки

,

,

 ( – множество узлов, лежащих на ).

Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей

   (4)

  на . (5)

 Введём обозначения:

  , (6)

 ,  (7)

.

 Таким образом, наше уравнение (4) можно переписать в виде

   . (4*)

3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона

 Сопоставим задачу (1), (2) с родственной её нестационарной задачей о распространении тепла.

 Пусть

 То есть   – множество граничных точек прямоугольного параллелепипеда , не принадлежащих ,  – заданная на  достаточно гладкая функция.

 Требуется найти непрерывную на  функцию , удовлетворяющую на  уравнению теплопроводности

   ,  (8)

и кроме того, подчиняющуюся на   дополнительному условию

   на . (9)

 Условие (9) включает в себя как начальное условие  при , так и однородные краевые условия первого рода.

  Смешанная задача (8), (9) имеет единственное решение .

 В задаче (8), (9) источник тепла  и температура на границе  не зависят от времени . Естественно ожидать поэтому, что при  будет выполнятся соотношение , откуда

,

поэтому можно предположить, что для достаточно больших значений , например для , будет с необходимой точностью верно приближённое равенство. Здесь положена в основу идея о стабилизации при  решения уравнения теплопроводности к решению уравнения Пуассона, если  не зависит от , т.е.

.

 На этой закономерности основана идея метода решения стационарных задач, состоящая в замене их подходящими нестационарными задачами. Этот метод и ряд его модификаций принято называть методом установления.

  Запишем для задачи (8), (9) простейшую двухслойную разностную схему

 на

и двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов

 ,  (10)

 , (11)

.

 В разностной схеме (10), (11) шаг  по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (10) отвечает первому полушагу, в нём величины  и  считаются уже известными (в частности, ), а неизвестные имеют верхний индекс . Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (10), предварительно умножив его на , следующим образом:

 , (12)

где 

известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия

 ,  (13)

в соответствии с условием (9).

 Разностная задача (12), (13) распадается на  независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению , . Разностная краевая задача (12), (13) решается методом прогонки при каждом  отдельно. Прогонка осуществляется по индексу , то есть в направлении оси .

 После того как найдены все неизвестные  на промежуточном слое с номером , переносим их в разностном уравнении (11), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде

 , (14)

где 

известно, и присоединяем к уравнению (14) в соответствии с условием (9) краевые условия

 , . (15)

 Задача (14), (15) тоже не распадается на  независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному . Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу , то есть в направлении оси .

Метод прогонки

 Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего специального вида:

,  

где  – неизвестные,  – заданные числа, причём

.

 Решение ищем по формуле

  , (*)

где . (**)

 Таким образом, коэффициенты уравнений (*), связывающих соседние значения  можно определить из рекуррентных соотношений (**), поскольку ,  заданы.

 Находим неизвестную   по формуле

  (***)

и в обратном порядке находим все неизвестные . Процесс вычисления коэффициентов  по формулам (**) называется прямым ходом прогонки, а нахождение неизвестных , по формулам (***), (*) – обратным ходом прогонки.

5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона

 Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области

начальные условия

 – натуральное число,  шаг по  и по .

 

   – начальное приближение. Полагаем

2) Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном  систему уравнений (12)

,

где  известно,

.

Перепишем уравнение (12) в виде:

  , (12*)

где

.

При  получаем

 (12*),

где

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

.

 Так как , то получаем

 и далее

.

 После того, как будут вычислены коэффициенты , вычислим

.

Так как , то получаем .

При  получаем

Обратный ход прогонки

 После того как будут найдены все   найдём все неизвестные  по формуле

.

 Таким образом, вычисляются   из начальных условий.

При  получаем

Прогонка в направлении оси .

Решим методом прогонки при каждом фиксированном  систему уравнений (14)

 ,  (14)

 где  известно из предыдущих вычислений,

,

 в силу граничных условий.

  Перепишем систему уравнений (14) в виде:

 ,  (14*)

 где

,

При  получаем

,

где 

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычисляем коэффициенты

Так как , то получаем

После этого, как будут вычислены коэффициенты  вычислим

.

Так как , то получаем .

При  получаем

,

.

Обратный ход прогонки

 После того как будут найдены все   найдём все неизвестные  по формуле

.

 Таким образом вычисляются   известно из краевых условий.

При  получаем

6. Оформление результатов работы.

  Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значение точного решения на сетке.

[an error occurred while processing this directive]
Пензавзгляд- пенза город официальный сайт. Практикум по теме «Тройной интеграл»