Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 13.

Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами

1. Постановка задачи

Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения

 ,  (1)

  (2)

в области , где – граница квадрата .

,

,

,

 – точное решение задачи (1), (2).

2. Разностная аппроксимация задачи

 Пусть – замкнутый квадрат, – его граница, – заданная на  достаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем. Требуется найти непрерывную на  функцию , удовлетворяющую на открытом квадрате  уравнению (1) и обращается вна границе квадрата.

 Функции  достаточно гладкие, удовлетворяющие условиям

,

 (3)

 Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим , , , . Построим сетки

 (– множество узлов, лежащих на )

 Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей.

 , (4)

   на  (5)

,

,

.

Введём обозначения:

 ,  (6)

 , (7)

.

3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле

 Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов

 , (8)

 , (9)

 .

 В разностной схеме (8), (9) шаг  по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (8) отвечает первому полушагу, в нём величины  и  считаются уже известными (в частности, ), а неизвестные имеют верхний индекс . Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (8), предварительно умножив его на , следующим образом:

   (10)

 где

известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия

   (11)

в соответствии с условием (5).

 Разностная задача (10), (11) распадается на  независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению , . Разностная краевая задача (10), (11) решается методом прогонки при каждом  отдельно. Прогонка осуществляется по индексу , то есть в направлении оси .

 После того как найдены все неизвестные  на промежуточном слое с номером , переносим их в разностном уравнении (9), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде

 , (12),

где

известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5), краевые условия

 .  (13)

 Задача (12), (13) тоже распадается на  независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному , . Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу , то есть в направлении оси .

4. Алгоритм решения задачи Дирихле

  Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области

Начальные условия

 – натуральное число,  шаг по  и по .

 

   – начальное приближение. Полагаем

Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном  систему уравнений (10)

,

где

 известно. Обозначим

,

тогда уравнение (10) можно записать в виде:

 , (10*)

где

,

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

 Так как , то получаем

 После того, как будут вычислены коэффициенты  вычислим

Так как , то получаем .

При  получаем

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все   найдём все неизвестные  по формуле

 Таким образом вычисляются   в силу граничных условий.

Прогонка в направлении оси

Решим методом прогонки при каждом фиксированном  систему уравнений (12)

,

где  известно из предыдущих вычислений. Обозначим

и перепишем систему уравнений (12) в виде:

 , (12*),

где

.

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном .

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

.

Так как , то получаем

После того, как будут вычислены коэффициенты  вычислим

Так как , то получаем .

При  получаем

Обратный ход прогонки

 После того как будут найдены все   найдём все неизвестные  по формуле

 Таким образом вычисляются   известно из начальных условий.

Оформление результатов работы

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значений точного решения на сетке.

[an error occurred while processing this directive]
Практикум по теме «Тройной интеграл»