Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Лабораторная работа № 14

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Постановка задачи

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

   (1)

  (2)

   (3)

Пусть , где  (n- номер варианта). Найти  при которых  является точным решением задачи (1) – (3). При найденных  и  найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

Теоретическая часть

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

  , (4)

 ,  (5)

 , (6)

где

Из (4) получим, что   обозначая  получим операторное уравнение   где  Таким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

   (7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператор получаем оценки

 

  (8)

 

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое ) будем искать итерационными методами

   (9)

полагая  где  – последняя итерация  на предыдущем временном слое.

Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

 .  (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

  (11)

  

Полагая  получим .

Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9)  вычисляется по формуле

  (12)

где  вычисляется по формуле (10), а

   (13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=5. По формуле

   (14)

и находим  Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая . Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.

Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

 В новых обозначениях (14) можно записать в виде:

  (15)

Оформление результатов работы

Найти приближенное решение задачи (1) - (3) указанными выше методами при , полагая  Результаты вычислений по каждому методу представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации  с совпадением первых четырех знаков и значение точного решения  на сетке при

[an error occurred while processing this directive]
Практикум по теме «Тройной интеграл»